## 定义 将行列式的 $n^{2}$ 个元素的代数余子式 [[行列式的定义与性质#余子式]] 按如下形式排列的矩阵称为 $A$ 的伴随矩阵，记作 $A^{*}$： $ A^*= \begin{bmatrix} A_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1} \\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} $ 且有： #必考 $AA^{*} = A^{*}A = |A|E$ > [!example] > $A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\3 & 4 \end{bmatrix},~ A^* = \begin{bmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1\end{bmatrix}$ > $|A| = -2,~ AA^* = \begin{bmatrix} -2 & -2\\-2 & -2 \end{bmatrix}$ > [!note] > - $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ ； > - **注意位置**：第 $i$ 行元素的代数余子式写在第 $i$ 列上； > - 可推出：$A^{*} = |A|A^{-1}$ （左右各乘 $A^{-1}$ 可证）。 > > [!important] > > 当 $A$ 可逆时，$A^{*}$ 与 $A^{-1}$ 只差了一个非零倍数而已！ ## 性质与重要公式 对于任意 $n$ 阶方阵 $A$ ，都有伴随矩阵 $A^{*}$ ，且有公式 $AA^{*} = A^{*}A = |A|E,~ |A^{*}| = |A|^{n-1}$ 当 $|A| \ne 0$ （**可逆**）时，有 $A^{*} = |A|A^{-1},~ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*},~ A=|A|(A^{*})^{-1}$ $(kA)(kA)^{*} = |kA|E$ $A^{T}(A^{T})^{*} = \left| A^{T}\right|E$ $A^{-1}(A^{-1})^{*} = \left| A^{-1}\right|E$ $A^{*}(A^{*})^{*} = $\left| A^{*}\right|E$ --- $(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}$ $(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$ $(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$ $(A^{*})^{*} = |A|^{n-2}A$ > [!tip] > 对于二阶矩阵： > - 求伴随矩阵：**主对调，副变号**。 $A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix},~ A^* = \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$ > - $(A^{*})^{*} = A$ ### 伴随矩阵求逆矩阵 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}$ ### 求伴随矩阵的方法 #### 定义法 先求 $A_{ij}$ ，再拼接成 $\boldsymbol{A}^{*}$。 #### 公式法 若可逆，则 $\boldsymbol{A}^{*} = |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A^{-1}}$。 > [!note] > $\begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} a^{-1} & 0\\ 0 & b^{-1} \end{bmatrix}$ > $\begin{bmatrix} 0 & a\\ b & 0 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & b^{-1}\\ a^{-1} & 0 \end{bmatrix}$