## 行列式的本质定义（第一种定义）
$D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$ 称为二阶行列式。角标代表该元素的行列位置。
计算： $D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$
> [!question]
> 为什么是行列式计算是**主线减副线**？
### 解释
把行列式第一行和第二行看作两个向量： $\begin{matrix} [a_{11}, a_{12}] = \boldsymbol{a_{1}} \\ [a_{21}, a_{22}] = \boldsymbol{a_{2}} \end{matrix}$
在直角坐标系下画出两个向量，并作平行四边形。各参数如图：
![[det_cal.png]]
求平行四边形面积 $S_{OABC}$ : $\begin{align*} S_{OABC} &= l\cdot m\cdot \sin (\beta - \alpha) \\ &= l\cdot m (\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)\\ &= l\cos \alpha \cdot m\sin\beta - l\sin \alpha \cdot m\cos\beta \\ &= a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \end{align*}$
二阶行列式是由两个向量组成的，代表着以这两个向量为邻边的平行四边形的面积
### 线性推广
三阶行列式则可理解为：三个3维向量围成的立方体的体积。
$n$ 阶行列式可理解为： $n$ 个 $n$ 维向量为邻边组成的 $n$ 维图形的体积。
> [!note]
> 若行列式 $D \ne 0$ ，则体积不为0，则组成该行列式的三个向量**线性无关**。否则称为**线性相关**。
>
> 一定要习惯用向量来想行列式！
### 简化版计算
#### 二阶
$D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$
#### 三阶
$D_3=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - (a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32})$
![[det_cal_d3.png]]
## 行列式的性质
1. 行列互换，其值不变； $|\boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{A}^{T}|$
2. 若某行/列全为 $0$ ，则整个行列式为 $0$；（一个向量是零，扁了）
3. 若某行/列有公因子 $k$ ，则可以把 $k$ 提到外面；（一个向量乘倍数）
4. 若某行/列均是两数之和，则可以拆成两个行列式值和；（一个向量拆成两个）
5. 行列式两行/列互换，行列式变号；（反着算体积）
6. 两行/列成比例，整个行列式为 $0$；（重合向量，没面积）
7. 把某行/列的 $k$ 倍加到另一行/列，行列式不变。（倍加性质）
## 行列式的逆序数法定义（第二种定义）
### 排序和逆序
- **排列**：有序数组，只包含小于 $n$ 的数，不重复。 $12345$ 是一个 $5$ 级排列， $23154$ 也是一个 $5$ 级排列。
- **逆序**：若 $n$ 级中的两个数，排列前面的数大于后面的数，则构成逆序。 $23145$ 的逆序有： $21, 31$。
- **逆序数**：一个排列中逆序的个数称为逆序数 $\tau(i_{1}i_{2}\cdots i_{n})$ $\tau(231546) = 3$。
- **奇排列和偶排列**：排列的逆序数为奇数时，该排列称为奇排列；否则为偶排列。
### n阶行列式
$
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} = \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}
$
1. 一个 $n$ 阶行列式打开后有 $n!$ 项；
2. $\sum\limits_{j_1 j_2 \cdots j_n}$ 表示对所有 $n$ 个列下标排列求和；
3. 每项取自不同行不同列的 $n$ 个元素组成。
4. 规定：一阶行列式 $|a_{11}| = a_{11}$。
## 行列式的展开定理（第三种定义）
超过三阶用此方法降阶。
### 余子式
> [!note]
> 子式 = 行列式
> 子矩阵 = 矩阵
$n$ 阶行列式中，去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列元素，剩下的拼成 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。（十字消消乐）
### 代数余子式
$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$
行列之和为奇数则添负号。
### 某一行/列的展开公式
行列式等于某行/列元素分别乘其相应的代数余子式后再求和。
$|\boldsymbol{A}| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in}$
列省略。
> [!tip]
> 尽量找 $0$ 元素多的一行展开， $0$ 越多越好！