对于 $n$ 个方程 $n$ 个未知数（方形）的非齐次线性方程组 $ \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \cdots\\ a_{n1}x_1 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{matrix}\right. $ 若系数行列式 $D= \begin{vmatrix} a_{11} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{n1} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} \ne 0$ （可逆），则方程有唯一解，且解为 $x_{i}=\frac{D_{i}}{D}, i=1,2,\cdots,n$ 式中， $D_{i}$ 是由常数项 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 替换 $D$ 中的第 $i$ 列元素得到的行列式。 --- 对于 $n$ 个方程 $n$ 个未知数（方形）的非齐次线性方程组 $ \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n = 0\\ a_{21}x_1 + \cdots + a_{2n}x_n = 0\\ \cdots\\ a_{n1}x_1 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{matrix}\right. $ 若 $D\ne0$ ，则齐次方程组只有零解；若 $D = 0$ ，则齐次方程组有非零解。