> [!tip] > 以二阶为例，推广到高阶。 ## 二阶常系数齐次线性微分方程 ### 概念 方程 $y''+py'+qy = 0$ 称为二阶常系数齐次线性微分方程。 ### 解的结构 若两个解为 $y_{1}(x), y_{2}(x)$ ，且 $\frac{y_{1}(x)}{y_{2}(x)} \ne C(常数)$ ，则称 $y_{1}(x), y_{2}(x)$ 是两个**线性无关的解**。 且 $y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)$ 是方程得通解。 ### 通解 #必考 对于 $y''+py'+qy = 0$ ，其对应的特征方程为 $r^{2}+pr+q=0$ > [!note] > 令 $y = e^{rx}$ ，代入得： $r^{2}e^{xr} + p \cdot r e^{rx} + q e^{rx}$ > 提出 $e^{rx}$ 得： $r^{2}+pr+q = 0$ 用求根公式可以得到两个解： $r_{1,2} = \frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$ - 若 $p^{2}-4q > 0$ ， $r_{1} \ne r_{2}$ ，通解为： $y=C_{1}e^{r_{1} x} + C_{2}e^{r_{2} x}$ - 若 $p^{2}-4q = 0$ ， $r_{1} = r_{2} = r$ ，通解为： $y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}$ - 若 $p^{2}-4q < 0$ ，则设 $\alpha \pm \beta ~\mathrm{i}$ 是特征方程得一对共轭复根，通解为： $y = e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x + C_{2}\sin \beta x)$ ## 二阶常系数非齐次线性微分方程 ### 概念 $y''+py'+qy = f(x) ~ (f(x)\not\equiv 0)$ $f(x)$ 是已知的连续函数，称为自由项 ### 解的结构 称 $y''+py'+qy = 0$ 是**导出方程**。 $y_{非齐通} = y_{齐通} + y*$ $y*$ ：非齐的一个特解。 - 把导出方程按照 [[#二阶常系数齐次线性微分方程]] 解出来 - 找 $y*$ 。 > [!tip] > - 若 $y_{1}^{\star}$ 是 $y''+py'+q = f_{1}(x)$ 的解，$y_{2}^{\star}$ 是 $y''+py'+q = f_{2}(x)$ 的解，则 $y_{1}^{\star} + y_{2}^{\star}$ 是 $y''+py'+q = f_{1}(x) + f_{2}(x)$ 的解。 > - 设 $y_{1}^{\star}, y_{2}^{\star}$ 都是 $y''+py'+q = f(x)$ 的特解，则 $y_{1}^{\star}-y_{2}^{\star}$ 是对应齐次方程的解。 两个方法： - **待定系数法** - Haviside 算子法 ### 特解的设定 设 $P_{n}(x), p_{m}(x)$ 分别为 $x$ 的 $n$ 次、 $m$ 次多项式： 1. 当 $f(x) = P_{n}(x) e^{ax}$ 时，特解需要设为： $y^* = e^{ax}Q_{n}(x) x^{k}$ ![[diff_eq_special_1.png]] 2. 当 $f(x) = e^{ax}[P_{m}(x)\cos \beta x +P_{n}(x)\sin \beta x]x^{k}$ 时，特解需要设为： $y^* = e^{ax}[Q_{l}^{(1)}(x)\cos \beta x + Q_{l}^{(2)}(x) \sin \beta x] x^{k}$ ![[diff_eq_special_2.png]] 还可以用 *微分算子法* 求解，具体解法见书 `p275`。 ### 通解 若： - $y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)$ 是 $y''+py'+qy=0$ 的通解； - $y^{*}(x)$ 是 $y''+py'+qy=f(x)$ 的一个特解， 则： $y(x) + y^{*}(x)$ 是 $y''+py'+qy=f(x)$ 的通解。 ## n阶常系数齐次线性微分方程 1. 若 $r$ 为单实根，写 $Ce^{rx}$； 2. 若 $r$ 为 $k$ 重实根，写 $(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+\cdots+C_{k}x^{k-1})e^{rx}$ 3. 若 $r$ 为单复根 $\alpha \pm \beta ~\mathrm{i}$ ，写 $e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x + C_{2}\sin \beta x)$ 4. #待完善 若 $r$ 为二重复根 $\alpha \pm \beta ~\mathrm{i}$ ，写 $略（应该不会考）$ ### 反求方程的理论基础 - 如果解中含特解 $e^{rx}$ ，则 $r$ 至少为单实根； - 如果解中含特解 $x^{k-1}e^{rx}$ ，则 $r$ 至少为 $k$ 重实根； - 如果解中含特解 $e^{\alpha x} \cos\beta x$ 或 $e^{\alpha x} \sin\beta x$ ，则 $\alpha \pm \beta ~\mathrm{i}$ 至少为单复根； - 如果解中含特解 $e^{\alpha x} x\cos\beta x$ 或 $e^{\alpha x} x\sin\beta x$ ，则 $\alpha \pm \beta ~\mathrm{i}$ 至少为二重复根。 ## 欧拉方程 > [!caution] > 2024年数二考了！请一定重视！ $x^{2}\frac{\mathrm{d^{2}}y}{\mathrm{d}x^{2}} + px \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + qy = f(x)$ $x^{2}y'' + px^{1}y' + qx^{0}y^{(0)} = f(x)$ 称为**欧拉方程**。 解法： 1. 当 $x>0$ ，令 $x=e^{t}$ ，则 $t = \ln x$ ， $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}$。于是： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ $\frac{\mathrm{d^{2}}y}{\mathrm{d}x^{2}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right) = -\frac{1}{x^{2}} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right) = -\frac{1}{x^{2}} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{x^{2}} \frac{\mathrm{d^{2}}y}{\mathrm{d}t^{2}}$ 方程化为： $\frac{\mathrm{d^{2}}y}{\mathrm{d}x^{2}} + (p-1) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + qy = f(e^{t})$ 即可求解 > [!note] > 别忘了回代 $t = \ln x$！ 1. 当 $x<0$ ，令 $x=-e^{t}$ ，同理可得。