## 微分方程及其阶 表示未知函数及其各阶导数（微分）与自变量之间的关系的方程称为微分方程。 > [!note] > 满足两个条件： > - 方程 > - 含有未知函数的导数 最高阶导数的阶数被称为微分方程的阶。 $F[x,y,y',\cdots,y^{(n)}] = 0 ~或~ y^{(n)} = f[x,y,y',\cdots,y^{(n-1)}]$ > [!example] > $x + y''' - y'' + 6y = 0$ > 这是一个 *三阶微分方程*。 > $y^{(4)}=0$ > 这是一个 *四阶微分方程*。 ## 常微分方程 未知函数是一元函数 $y=y(x)$ 的微分方程称为常微分方程。 > [!example] > $y'''-y''+6y=0$ > $y\mathrm{d}x - \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) = 0$ ## 线性微分方程 形如： $a_{n}(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}(x)y' + a_{0}(x)y = f(x)$ 的微分方程称为 **$n$ 阶线性微分方程**。其中： $a_{k}(x)$ 是自变量为 $x$ 的函数。 当 $a_{k}(x)$ 都是常数时，又称为 **$n$ 阶常系数线性微分方程**。 当右端 $f(x) = 0$ ，则称为 **$n$ 阶齐次线性微分方程**，否则称为 **$n$ 阶非齐次线性微分方程**。 ## 微分方程的解 将函数代入微分方程，使方程成为**恒等式**，则**该函数**时微分方程的解。 微分方程解的图形称为积分曲线（族）。 ## 微分方程的通解 若微分方程的解中含有的 **独立常数的个数** 等于 **微分方程的阶数**，则称该解时微分方程的通解。 > [!note] > 对“独立常数”的解释： > - **独立**：经 *任何恒等变形* 都无法使常数的个数减少； > - **常数**：不一定是任意常数，取值范围内的常数也可以。 > > [!example] > > 假设解为： $y= C_{1}\sin x + C_{2}\sin x$ ，可以合并为 $y=C\sin x$ 所以 $C_{1}, C_{2}$ 二者不独立； > > 但解 $y=C_{1}e^{x} + C_{2}xe^{x}$ 二者相互独立。 ## 初始条件与特解 确定通解中常数的条件就是**初始条件**。如： $y(x_{0})=a_{0}, y'(x_{0}) = a_{1}, \cdots$ 确定通解中的常数后，解就成了**特解**。