## 可分离变量型微分方程 ### 直接可分离 *能写成* $y' = f(x) g(y)$ 形式的方程称为可分离变量型微分方程。 解法： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x)g(y) \Rightarrow \int\frac{\mathrm{d}y}{g(y)} = \int f(x)\mathrm{d}x$ > [!tip] > - *能写成* 意味着可能需要额外步骤进行变形。事实上，题目最后一两步一般会变成上述形式。 > - 物以类聚，人以群分，把 $x$ 和 $y$ 分别放两边，再积分。 ### 换元后可分离 形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(ax+by+c)$ 的方程，其中 $a,b,c$ 全都不为零。 解法： 令 $u = ax+by+c$ ，则求导得： $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = a + b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，代入原方程得： $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = a+bf(u)$ ## 齐次型微分方程 形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi \left(\frac{y}{x} \right)$ 的方程叫做齐次型微分方程。 解法： 令 $u = \frac{y}{x}$ ，则 $y=ux \Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ 原方程变为 $x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} +u = \varphi(u)$ 即： $\frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u} = \frac{\mathrm{d}x}{x}$ ## 一阶线性微分方程 #重要 形如 $y' + p(x)y = q(x)$ 的方程叫做一阶线性微分方程。 其中： $p(x), q(x)$ 为已知的连续函数 通解公式： $y = e^{-\int p(x) \mathrm{d}x} \left[ \int e^{\int p(x) \mathrm{d}x} \cdot q(x) \mathrm{d}x + C \right]$ > [!important] > **公式推导（很重要，不要跳过）** > $y' + py = q$ > > [!tip] > > - 乘积求导公式为 $(uv)' = u'v + uv'$； > > - 且 $(e^{\int p\mathrm{d}x})' = e^{\int p\mathrm{d}x}p$ > > 原式左右同时乘以 $e^{\int p\mathrm{d}x}$ 得： $e^{\int p\mathrm{d}x}\cdot y' + e^{\int p\mathrm{d}x} \cdot py = e^{\int p\mathrm{d}x} \cdot q$ > 如果把 $e^{\int p\mathrm{d}x}$ 看作 $v$ ； $y$ 看作 $u$ ，因此整个等式左边可认为是 $u'v + uv'$ ，符合乘积求导公式。原式化为： > $\left( y \cdot e^{\int p\mathrm{d}x} \right)' = e^{\int p\mathrm{d}x} \cdot q$ > 两边积分： $y \cdot e^{\int p\mathrm{d}x} = \int e^{\int p\mathrm{d}x} \cdot q \mathrm{d}x +C$ > $y = e^{-\int p \mathrm{d}x} \left( \int e^{\int p \mathrm{d}x} \cdot q \mathrm{d}x + C \right)$ > [!tip] > 因为 $\int p(x) \mathrm{d}x$ 和 $\int q(x)e^{\int p(x) \mathrm{d}x}$ 均应理解为**某一个**不含任意常数的原函数，故公式可写为： > - $\int p(x) \mathrm{d}x \Rightarrow \int_{x_{0}}^{x} p(t) \mathrm{d}t$ > - $\int q(x)e^{\int p(x) \mathrm{d}x} \Rightarrow \int q(t)e^{\int_{x_{0}}^{x} p(s) \mathrm{d}s}$ > $y = e^{-\int_{x_{0}}^{x} p(t) \mathrm{d}t} \left[ \int_{x_{0}}^{x} q(t)e^{\int_{x_{0}}^{t} p(s) \mathrm{d}s} \mathrm{d}t + C \right]$ ## 伯努利方程* 形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x)y^{n} (n \ne 0, 1)$ 的方程叫做伯努利方程。 解法： 1. 先左右乘 $y^{-n}$ ： $y^{-n}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x) y^{1-n} = q(x)$ 2. 换元：令 $z = y^{1-n}$ ，得 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = (1-n) y^{-n} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，则 $\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + p(x)z = q(x)$ 3. 解一阶线性微分方程即可。 > [!note] > 不是考纲，但有可能考！题目提示用换元法： > *令 $z = y^{1-n}$，化简方程并求解。* ## 二阶可降阶微分方程 > [!tip] > 用换元法化为一阶方程 ### $y'' = f(x,y')$ 型 方程中 *不显含* 未知函数 $y$ ，彻底消灭 $y$ 1. 令 $y' = p(x), y'' = p'$ ，则原方程变为一阶方程 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = f(x,p)$ 2. 若解得通解为 $p = \varphi(x, C_{1})$ ，即 $y'=\varphi(x,C_{1})$ ，则原方程的通解为 $y = \int \varphi (x,C_{1})\mathrm{d}x+C_{2}$ ### $y'' = f(y,y')$ 型 #重要 方程中 *不显含* 自变量 $x$ ，彻底消灭 $x$ 1. 令 $y' = p(y), y'' = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \cdot p$ ，原方程变为 $p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f(y,p)$ 2. 解得通解 $p = \varphi (y, C_{1})$ ，得 $p = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi (y, C_{1})$ ，分离变量得 $\frac{\mathrm{d}y}{\varphi (y, C_{1})} = \mathrm{d}x$ 3. 两边积分得 $\int \frac{\mathrm{d}y}{\varphi (y, C_{1})} = x + C_{2}$ > [!note] > 注意区分两个 $p$ 函数，一个是 $x$ 的函数，一个是 $y$ 的。 ### $y'' = f(y')$ 型 既不含 $y$ 又不含 $x$ ，则按照不含 $y$ 的方法求解 [[#$y'' = f(x,y')$ 型]] 。