## 直角坐标系下的计算方法
> [!tldr]
> 后积先定限，
> 限内画直线，
> 先交写下限，
> 后交写上限。
直角坐标系一般分为两种：
1. $x$ 形区域 ![[d_int_x.png]] $\iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \int^{b}_{a} \mathrm{d}x \int^{\varphi_{2}(x)}_{\varphi_{1}(x)} f(x,y) \mathrm{d}y$
3. $y$ 形区域： $\iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \int^{d}_{c} \mathrm{d}y \int^{\psi_{2}(y)}_{\psi_{1}(y)} f(x,y) \mathrm{d}x$
> [!note]
> 关键是确定积分限，可以画图/写出确定的表达式。
> 这里的下限必须小于上限。不是的话需要提负号出去。
## 极坐标系下的计算方法
> [!tip]
> - 与直角坐标系转换：$\left\{\begin{matrix} x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \end{matrix}\right.$
> - 极坐标系选择的原则：
> - 积分区域是圆或圆的一部分；
> - 被积函数是否含有： $x^{2}+y^{2}=r^{2}, \frac{y}{x}=\tan\theta, \frac{x}{y}=\cot\theta$
> - 二者满足其一（主要是第二点）即可考虑极坐标系，否则用直角坐标系。
![[d_int_pol.png]]
**分割：**不同半径的圆和半径切割，形成近似矩形。面积： $\mathrm{d}\sigma = r ~\mathrm{d}r~\mathrm{d}\theta$
> [!caution]
> 多了个 $r$，不要写漏！
![[d_int_pol_2.png]]
**计算：**两条射线将积分区域划分成了内曲线与外曲线 $r_{1}(\theta), r_{2}(\theta)$：
$\iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \int^{\beta}_{\alpha} \mathrm{d}\theta \int^{r_{2}\theta}_{r_{1}(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r \mathrm{d}x$
## 极坐标和直角坐标系的互相转化
1. 用好基本换算公式： $\left\{\begin{matrix} x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \end{matrix}\right.$
2. 画出区域 $D$ 的边界图形，做好上下限的转化。
## 换元法
> [!tip]
> - 与 [[定积分的计算#定积分的换元积分法]] 一脉相承；
> - 可直接使用，无需证明；
> - 换元的最终目的：**把积分变简单**！
> - 极坐标变换只是一种特殊的换元法。（多乘的 $r$ 其实就是雅可比行列式）
$\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_{D_{uv}} f[x(u,v),y(u,v)] \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v$
三换：
1. **换被积函数**： $f(x,y) \to f[x(u,v), y(u,v)]$
2. **换积分区域**： $\iint\limits_{D_{xy}} \to \iint\limits_{D_{uv}}$
3. **换积分元素**： $\mathrm{d}x\mathrm{d}y \to \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v$
> [!note]
> - $x=x(u,v), y=y(u,v)$ 是 $(x,y)$ 面到 $(u,v)$ 面的一对一映射，且存在一阶连续偏导数；
> - 雅可比行列式：$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \ne 0$