> [!tip] > 联系 [[定积分]] 的定义 1. **分割**：设 $f(x,y)$ 有界闭区域的有界函数，并将闭区域 $D$ 分割为 $n$ 个小闭区域：$\Delta \sigma_{1}, \Delta \sigma_{2}, \cdots , \Delta \sigma_{n}$ ![[Pasted image 20240716132538.png]] 2. **近似**：在每个 $\Delta \sigma_{i}$ 上任取一点 $(\xi_{i}, \eta_{i})$，求出曲面下围成的柱体体积： $f(\xi_{i}, \eta_{i})\Delta \sigma_{i}$ ![[d_int_2.png]] 3. **求和**：把所有小柱体加在一起： $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}, \eta_{i})\Delta \sigma_{i}$ 4. **取极限**：如果各小闭区域直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，和的极限总存在（与 $\Delta \sigma_{i}$ 的分法和点 $(\xi_{i}, \eta_{i})$ 的取法无关），则称这个极限值为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分，记作： $\iint\limits_{D} f(x,y)\mathrm{d}\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}, \eta_{i})\Delta \sigma_{i}$ 其中： - $f(x,y)$ 是被积函数； - $f(x,y) \mathrm{d}\sigma$ 是被积表达式； - $\mathrm{d}\sigma$ 是面积元素； - $x, y$ 是积分变量； - $D$ 是积分区域； - $\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_{i}, \eta_{i})\Delta \sigma_{i}$ 是积分和。 > [!note] > - 二重积分其实就是计算曲顶柱体的体积； > - 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则**二重积分一定存在**； > - 如果 $f(x,y) < 0$ ，虽然柱体体积为正，但二重积分的值是负的； > - 二重积分不止可以计算体积，还可以计算**密度不均匀的几何体的质量**等。 > - 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则**二重积分一定存在**； > - 同理可以很容易推导出三重积分： $\iiint\limits_{\Omega} \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i},\eta_{i},\iota_{i}) \Delta v_{i}$