> [!info] > 联系 [[定积分#性质]] ## 1. 求区域面积 $\iint\limits_{D}1 \cdot \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D} \mathrm{d}\sigma = A$ 其中 $A$ 为 $D$ 的面积。 ## 2. 可积函数必有界 当 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，$f(x,y)$ **在区域上必有界**。 ## 3. 积分的线性性质 - 两个函数先加减后积分和先积分后加减是等价的； - 乘法可以拿出去。 $\iint\limits_{D} [k_{1}f(x,y) \pm k_{2}g(x,y)]\mathrm{d}\sigma = k_{1}\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma \pm k_{2}\iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma$ ## 4. 积分的可加性 设 $f(x)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，且 $D_1 \cup D_2 = D, D_1\cap D_2 = \varnothing$ ，则： $\iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma= \iint\limits_{D_{1}} f(x,y) \mathrm{d}\sigma + \iint\limits_{D_{2}} f(x,y) \mathrm{d}\sigma$ > [!note] > 一般是把区域 $D$ 拆分成多个区域。 ## 5. 积分的保号性 ### 两函数比较 若区域上有： $f(x,y) \le g(x,y)$ $\iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma \le \iint\limits_{D} g(x,y) \mathrm{d}\sigma$ ### 绝对值不等式 特殊地，有： $\left|\iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma\right| \le \iint\limits_{D} |f(x,y)| \mathrm{d}\sigma$ ## 6. 二重积分的估值定理 设 $M,m$ 分别是 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上的最大值和最小值， $A$ 为区域 $D$ 的面积，则： $mA \le \iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma \le MA$ ## 7. 二重积分的中值定理 函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域上连续， $A$ 为区域面积， $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$ 使得 $\iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = f(\xi, \eta) A$