## 普通对称性 > [!tldr] > ***偶倍奇零*** 设区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称： 1. 若 $f(x,y) = f(-x, y)$ ，则左右部分体积相同，**计算一半乘以 $2$** 即可； 2. 若 $f(x,y) = -f(-x, y)$ ，则左右抵消，**总体积为 $0$**。 关于 **$x$ 轴**对称、关于**直线**、**原点**对称同理。 当关于 $y = x$ 对称时： 1. $f(x,y) = f(y,x)$ 为二倍； 2. $f(x,y) = -f(y,x)$ 为 $0$。 ## 轮换对称性 > [!example] 引例1 > $\iint\limits_{D_{1}:\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3}\le 1} (2x^{2}+3y^{2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_{D_{2}:\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3}\le 1} (2y^{2}+3x^{2}) \mathrm{d}y\mathrm{d}x$ > > [!summary] > > 只是字母对调，积分的客观事实无变化，而**积分值与用什么字母表示无关*，因此等式成立。 > [!example] 引例2 > $\iint\limits_{D_{1}:\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{4}\le 1} (2x^{2}+3y^{2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_{D_{2}:\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4}\le 1} (2y^{2}+3x^{2}) \mathrm{d}y\mathrm{d}x$ > > [!summary] > > 积分区域的 $x,y$ 对调后，区域也无变化。 在直角坐标系下，若把 $x,y$ 对调后，区域 $D$ 不变（关于 $y=x$ 对称），则： $\iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D} f(y,x) \mathrm{d}\sigma$ 这就是**轮换对称性**。 > [!hint] > - 若 $f(x,y)$ 是一个困难的积分，那么 $f(y,x)$ 依然是一个困难的积分。但有时 $f(x,y) + f(y,x)$ 可能是**异常简单**的积分。 > - 注意区分普通对称性和轮换对称性的区别和联系： > - 普通对称性考虑 $f(x,y)$ 与 $f(y,x)$ 的值是否相反； > - 轮换对称性考虑 $f(x,y) + f(y,x)$ 是否简单。