> [!tldr]
> 多元微分的**应用**
## 概念
理想状态下：如果该点是顶点，则其切平面**一定垂直于水平面**；任何一条切线也 必须水平。
![[multi_intu.png]]
点 $(x_{0}, y_{0})$ 的某个邻域有 $f(x,y) \le f(x_{0},y_{0}) ~或~ f(x,y) \ge f(x_{0},y_{0})$ 则点 $(x_{0},y_{0})$ 为 $f(x,y)$ 的极大（小）值点。
最值将邻域变成 *定义域* 即可。
> [!note]
> 某一点比周围的函数值点**不小**，则该点是极大值点。（局部）
>
> 极大/小值**不需要**该点连续/可微。（考虑圆锥顶点）
>
> 联系一元函数 [[极值的定义]] [[最值或取值范围]]
## 无条件极值
### 二元函数取极值的必要条件
> [!note]
> 类比一元函数；
> 同样可以类比三元及以上函数
设 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处：
- 一阶偏导数存在，
- 取极值，
则 $f_{x}'(x_{0},y_{0}) = 0$， $f_{y}'(x_{0},y_{0}) = 0$
> [!caution]
> 切线水平只是必要条件，不是充分条件；
> 偏导数不存在的点也可以是极值点。（圆锥顶点）
### 二元函数取极值的充分条件
记：
- $f_{xx}''(x_{0},y_{0}) = A,$
- $f_{xy}''(x_{0},y_{0}) = B,$
- $f_{yy}''(x_{0},y_{0}) = C,$
则 $\Delta = AC-B^{2}$
- $\Delta > 0 \Rightarrow$ **极值**：
- $A < 0 \Rightarrow$ 极大值；
- $A > 0 \Rightarrow$ 极小值；
- $\Delta < 0 \Rightarrow$ **非极值**；
- $\Delta = 0 \Rightarrow$ **方法失效**，另谋他法。
> [!caution]
> 该方法不适用于三元及三元以上的函数。
> [!note]
> - 如何记忆：*开不开心少年团、大胡子爷爷、小哑巴猪。*
> - 如何使用：先使用必要条件求出所有可疑点，再用充分条件判断可疑点是否是极值点
> - *例13.19*
![[multi_mem.png]]
## 条件最值与拉格朗日乘数法
求目标函数 $u = f(x,y,z)$ 在约束条件：
- $\varphi (x,y,z) = 0$
- $\psi (x,y,z) = 0$
下的最值，则
1. 构造辅助函数 $F(x,y,z,\lambda, \mu) = f(x,y,z) + \lambda \varphi (x,y,z) + \mu \psi (x,y,z)$
2. 令
$\left\{\begin{matrix}
F_x' = f_x' + \lambda \varphi_x' + \mu \psi_x' = 0 \\
F_y' = f_y' + \lambda \varphi_y' + \mu \psi_y' = 0 \\
F_z' = f_z' + \lambda \varphi_z' + \mu \psi_z' = 0 \\
F_\lambda' = \varphi (x,y,z) = 0 \\
F_\mu' = \psi (x,y,z) = 0
\end{matrix}\right.
$
3. 解出方程组得到备选点 $P_{i}, i=1,2,3,\cdots,n$ ，并求 $f(P_{i})$，取最大最小值 $u_{max}, u_{min}$
4. 根据实际问题，必存在最值，所得即为所求。
> [!note]
> - $\lambda, \psi$ 是拉格朗日乘数。
> - 有点类似线性组合，但 $\lambda, \psi$ 不是常量而是**变量**，只是形式相似。
> - $辅助函数变量数=目标函数变量数+约束个数$ 。不一定是 $3+2$，根据实际题目变通。
> - 对辅助函数求每个自变量偏导，等于 $0$ 。
> - 写出偏导数就能**拿5分**，几乎是白送。
> - 后续才是难点，求解完成可再拿7分。
## 最远（近）点的垂线原理
> [!note]
> - **可以直接使用**。
> - 有可能会在多元最值上节约大量时间，提高解题效率。
如果 $\Gamma$ 是光滑闭曲线，点 $Q$ 是 $\Gamma$ 外一点，点 $P_{1}, P_{2}$ 是曲线上距离 $Q$ 的最远和最近点，则：
**直线 $PQ$ 垂直 $P$ 点处切线。**
![[multi_tangent.png]]
若两条不相交光滑闭曲线 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ ， $P_{1}, P_{2}$ 分别是最远（近）点，则：
**直线 $P_{1}P_{2}$ 是 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 的公垂线。**
![[multi_tangent2.png]]
## 有界闭区域上连续函数的最值问题
>[!note] 理论依据
> **最大值最小值定理**：有界闭区域上的多元连续函数，区域上一定有最大最小值。
### 求法
1. 根据 $f_{x}'(x,y), f_{y}'(x,y)$ 为 $0$ 或不存在，求出区域**内部**的所有可疑点；
2. 用 *拉格朗日乘数法* 或 *代入法* 求出**边界上**的所有可疑点；
3. 比较所有可疑点大小，得到最小最大值。