> [!tldr] > 多元微分的**计算** ## 链式求导法则 > [!note] > ![[multi_chain.png]] 设 $z=f(u,v), u=\phi(x,y), v=\psi(x,y)$ ，则 $z=f[\phi(x,y), \psi(x,y)]$ 且： $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$ > [!note] > - 全导数：$z=f(u,v), u=\phi(t), v=\psi(t)$，则 $z=f[\phi(t), \psi(t)]$ 且 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$ ![[multi_comp2.png]] > - 第一次求导可以看成框框，内部的值（$u, v$）在第二次求导才会体现出来。 ## 全微分形式不变性 设 $z = f(u,v), u = u(x,y), v = v(x,y)$ 。如果 $f(u,v), u(x,y), v(x,y)$ 分别有连续偏导数，则复合函数 $z=f(u,v)$ 在 $(x,y)$ 处的全微分仍可表示为： $\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial u} \mathrm{d}u + \frac{\partial z}{\partial v} \mathrm{d}v$ 无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量，上式总成立。 ## 隐函数存在定理（公式法） ### 定理 1 对于方程 $F(x,y) = 0$ 确定的隐函数 $y = f(x)$ ，当 $F'_{y}(x,y) \ne 0$ 时，有 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \frac{F'_{x}(x,y)}{F'_{y}(x,y)}$ > [!note] > 只要不为0，就能确定隐函数。 ### 定理 2 对于方程 $F(x,y,z) = 0$ 确定的隐函数 $z = f(x,y)$ ，当 $F'_{z}(x,y,z) \ne 0$ 时，有 $\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F'_{x}(x,y,z)}{F'_{z}(x,y,z)},~ \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F'_{y}(x,y,z)}{F'_{z}(x,y,z)}$ > [!note] > 证明请看书 p228 *注*。