> [!tldr] > 多元微分的**概念** ## 邻域 ### $\delta$ 邻域 > [!info] > 联系一元函数的 [[邻域]] 在二维平面内的 $\delta$ 邻域是关于一个点 $P_0(x_0,y_0)$ 的。所有和该点的 **距离** 小于某正数 $\delta$ 的点的全体，称为 **点 $P_{0}$ 的 $\delta$** ，记为 $U(P_{0,}\delta)$。 ![[multi_neighbor.png]] $U(P_{0},\delta) = \{ P | ~|PP_{0}| < \delta \}$ 或 $U(P_{0},\delta) = \left \{ (x,y) \Big| \sqrt{(x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2}} < \delta \right \}$ ### 去心 $\delta$ 邻域 不包含 $P_{0}$ 点的 $\delta$ 邻域。 $ \mathring{U} (P_{0},\delta) = \{ P |~ 0 < |PP_{0}| < \delta \}$ > [!note] > 如果不需要强调邻域的半径 $\delta$ ，则其去心邻域记作 $\mathring{U}(P_{0})$。 ## 极限 > [!info] > 联系一元函数的 [[函数极限]] 若： - 函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上有定义； - $P_{0}$ 在区域内或边界上； - 对于 $\forall~ \varepsilon > 0$ ，总 $\exists~ \delta > 0$ ，且满足 $0 < |PP_{0}| < \delta$ ： - 恒有 $|f(x,y) - A| < \varepsilon$ 则称常数 $A$ 为 $(x,y) \to (x_{0},y_{0})$ 时 $f(x,y)$ 的极限，记作： $\lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})} f(x,y) = A$ 或： $\lim\limits_{\substack{x \to x_{0} \\ y \to y_{0}}}f(x, y) = A$ 也常记作： $\lim_{P \to P_{0}}f(P) = A$ 这种极限我们一般称之为：**二重极限**。 > [!note] > > - 一元函数的极限只有两种趋近方式（正负），但在多元函数里面有无数种趋近方式（弯弯绕绕）； > - 若两种趋近方式得出的值不相等，或某一路径极限值不存在，则极限不存在； > - 除 [[洛必达法则]] 和 [[单调有界原则]] 以外，可照搬一元函数求极限的方法求二重极限，如 > - 唯一性； > - 局部有界性； > - 局部保号性； > - 运算规则； > - 脱帽法。 > - [[等价无穷小]] 替换、[[夹逼准则]] 等技巧也是可以用的。 ## 连续 如果 $\lim\limits_{\substack{x \to x_{0} \\ y \to y_{0}}}f(x,y) = f(x_{0},y_{0})$ ，则称函数在 $(x_{0},y_{0})$ 点连续。 如果函数在区域上每个点都连续，则函数在区域上连续。 --- ## 偏导数 > [!note] > 开始进入多元微分学的核心概念 ### 定义 函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 某邻域有定义，如果极限： $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x, y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}$ 存在，则此极限为函数在 $(x_{0}, y_{0})$ 处对 $x$ 的偏导数，记作 $\frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{\substack{x = x_{0} \\ y = y_{0}}},~\frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{\substack{x = x_{0} \\ y = y_{0}}} ,~ z'_{x} \bigg|_{\substack{x = x_{0} \\ y = y_{0}}} ~或~ f'_x(x_{0}, y_{0})$ 即：$f_{x}'(x_{0},y_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x, y_{0}) - f(x_{0}, y_{0})}{\Delta x}$ > [!note] > 对 $y$ 求偏导数同理，此处不再赘述。 ### 偏导函数 若 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的每一点都有偏导数，则偏导数的集合（一般来说也是 $x, y$ 的函数）称为 $f(x,y)$ 的偏导函数，简称偏导数，记作： $\frac{\partial z}{\partial x},~ \frac{\partial f}{\partial x},~ f_{x}'(x,y)$ $y$ 同理。 ### 可视化解释（几何意义） > [!tip] > - 一元导数 $\to$ 单一方向上的变化率 > - 方向导数 $\to$ 任意方向上的变化率 $\to$ 偏导数 想象从山顶上向下走，如何找到最快的路径？ > 计算每个方向的导数，寻找最快下降的路线。 ![[deriv_hill.png]] 偏导数只考虑沿 $x$ 轴或沿 $y$ 轴的变化率，是方向导数的特殊情况。 ![[partial_deriv.png]] 用 $x$ 轴或 $y$ 轴平行平面和曲面相交，得到一条交曲线，再对该曲线进行研究。 ### 高阶偏导数 若二元函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数仍有偏导数，则称之为二阶偏导数。 $\frac{\partial^{2}z}{{\partial}x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{{\partial}x}\right) = f''_{xx}(x,y) = z''_{xx}$ $\frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{{\partial}x}\right) = f''_{xy}(x,y) = z''_{xy}$ > [!note] > 对应的还有 $f''_{yy}, f''_{yx}$ ，此处不再赘述。 其中 $f''_{xy} ~,~ f''_{yx}$ 称为二阶混合偏导数。类似的可以定义 $n(n \ge 3)$ 阶偏导数。 ### 简化 > [!question] > 二阶混合偏导数太复杂怎么办？ 如果 $z=f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数 $f''_{xy} ~,~ f''_{yx}$ 都在区域连续，则区域内： $f''_{xy} = f''_{yx}$ 即：**二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的顺序无关**。 > [!summary] > > - 求**一点**处的偏导数一般使用**定义法**； > - 求**区域**内偏导数一般使用**公式法**。 ## 可微 > [!note] > 回忆 [[微分的概念]] 把正方形 $x$ 换成长方形 $x,y$ ： ![[multi_deriv.png]] 面积的增量为： $\Delta S = (x+\Delta x)(y+\Delta y) - xy = y \Delta x + x \Delta y + \Delta x \Delta y$ 其由两部分组成： - $y \Delta x + x \Delta y$ ：他是关于 $\Delta x, \Delta y$ 的线性函数； - $\Delta x \Delta y$ ：他是比 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$ 的高阶无穷小量。即： $\Delta S = y\Delta x + x\Delta y + o(\rho)(\rho \to 0)$ 1. $y\Delta x + x\Delta y$ 是 $\Delta S$ 的主要部分； 2. $o(\rho)$ 是 $\Delta S$ 与 $y\Delta x + x\Delta y$ 之间的误差； 3. 称 $y\Delta x + x\Delta y$ 为函数 $S=xy$ 在点 $(x,y)$ 处的全微分。 ### 定义 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某实心邻域有定义，若该点的全增量 $\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)$ 可表示为 $\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$ 其中 $A,B$ 仅与点 $(x,y)$ 有关而与 $\Delta x, \Delta y$ 无关； $\rho = \sqrt{(\Delta x)^{2}+ (\Delta y)^2}$，且当 $\Delta x \to 0,\Delta y \to 0$ 时， $o(\rho)$ 为 $\rho$ 的高阶无穷小，则称： - 函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微分； - $A\Delta x + B \Delta y$ 为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全微分，记为：$\mathrm{d}z = A\Delta x + B \Delta y$ > [!note] > 联系一元微分： > - $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ ：二元的情况也是一样的，只不过两个自变量都增加； > - $\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$ ：也是主要部分+距离 $\Delta x$ 的高阶无穷小，但是二元的高阶无穷小是两个变量的距离了； > - 二元因为有两个自变量，所以叫 *全* 微分。 ### 可微的必要条件 若函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则该点偏导数必存在，且 $A= \frac{\partial z}{\partial x}, B = \frac{\partial z}{\partial y}$ 由此可得，若函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则全微分可记为： $\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$ > [!note] > 切线 -> 切平面，各个方向的变化率 > 可以用平面上的点的值代替曲面上的点的值 > 全增量=线性增量+高阶无穷小（高度差） ### 可微的充分条件 若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的**偏导数存在且连续**，则该函数在点 $(x,y)$ 处**可微**。 > [!note] > - 区域上，若全微分为 $0$ ，则区域上 $f(x,y) = C$ (常数) > - 判别函数在点 $(x_{0},y_{0})$ 处偏导数是否连续步骤如下： > - 定义法求 $f'_{x}(x_{0},y_{0}), f'_{y}(x_{0},y_{0})$； > - 公式法求 $f'_{x}(x,y),f'_{y}(x,y)$ > - 计算 $\lim\limits_{\substack{x \to x_{0} \\ y \to y_{0}}}f'_{x}(x, y), \lim\limits_{\substack{x \to x_{0} \\ y \to y_{0}}}f'_{y}(x, y)$ > - 若 $\lim\limits_{\substack{x \to x_{0} \\ y \to y_{0}}}f'_{x}(x, y) = f'_{x}(x_{0},y_{0}), \lim\limits_{\substack{x \to x_{0} \\ y \to y_{0}}}f'_{y}(x, y) = f'_{y}(x_{0},y_{0})$，则在该点偏导数连续。 > - 一元函数和多元函数在极限存在、连续、可导、可微的联系与区别：![[multi_comp.png]] ### 可微的判别步骤 判别函数 $z = f(x,y)$ 在点 $x_{0},y_{0}$ 处是否可微： 1. 写出**全增量** $\Delta z = f(x_{0} + \Delta x, y_{0} + \Delta y) - f(x_{0}, y_{0})$； 2. 写出**线性增量** $A\Delta x + B \Delta y$，其中 $A = f'_{x}(x_{0}, y_{0}), B = f'_{y}(x_{0}, y_{0})$； 3. 作极限 $\lim\limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\Delta z - (A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}$，若极限等于 $0$ （是高阶无穷小），则在该点可微。