## 变力沿直线做功 设方向沿 $x$ 轴正向的力函数 $y=F(x) (a \le x \le b)$ ，则当物体从 $a$ 移动到 $b$ 变力做功为： $W=\int^{b}_{a} F(x) \mathrm{d}x$ ![[int_force.png]] 纵坐标为力的大小 $F$ ，横坐标为位移 $x$ 。 功的微元是 $\mathrm{d}W = F(x) \mathrm{d}x$ 。 > [!note] > - 力做功的基础方程是 $W = Fx$ 力乘以位移。因为此时力是一个函数，随时都在变化，因此使用微元法进行积分。 > - 变力做功可以理解为曲边梯形的面积。 > - 应用题需要将文字描述转换为数学语言。 ## 抽水做功 假设一个奇形怪状的瓶子，每一个深度的截面积都不相同，如图： ![[int_water.png]] 水深为 $a-b$ ，截面积函数为 $A(x)$ ，则将容器中的水全部抽出所用的功为： $W=\rho g \int^{b}_{a} xA(x) \mathrm{d}x$ 其中水的密度为 $\rho$ ，重力加速度为 $g$ 。 > [!note] > - 每一层水的质量为 $\rho g A(x) \mathrm{d}x$ ； > - 每一层水被抽出的路程为 $x$ ； > - 所以功的微元为 $\mathrm{d}W = \rho gx A(x) \mathrm{d}x$ > - 因此只需要确定 **截面积的函数 $A(x)$** 即可，其余都是常量。 ## 静水压力 垂直浸没在水中的平板 $ABCD$ 的 **一侧** 受到的水压力为： $P = \rho g \int^{b}_{a} x[f(x)-h(x)] \mathrm{d}x$ ![[int_pressure.png]] > [!note] > - $AB$ 曲线方程为 $y=h(x)$ ， $DC$ 曲线方程为 $f=f(x)$； > - 对于微元矩形条，近似认为其受到水压相等： $\mathrm{d}P = \rho g x \cdot S = \rho g x[f(x)-h(x)]\mathrm{d}x$； > - 矩形条面积为宽度 $f(x)-h(x)$ 乘以高度 $\mathrm{d}x$； > - 因此只需要确定 **水深 $x$ 处的平板宽度 $f(x)-h(x)$** 即可。