> [!info] > > 本章几乎没有新的知识点，主要是题目练习为主，因此这里会给出部分较经典例题的步骤。但这并不意味着这章不重要！ ## 用中值定理 ### 推广的积分中值定理 设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且 $g(x)$ 不变号，则存在 $\xi$ 使： $\int^{b}_{a} f(x)g(x) \mathrm{d}x = f(\xi) \int^{b}_{a} g(x) \mathrm{d}x$ [[不定积分#积分中值定理]] > [!note] > 如果题目没有要求证明，则可以直接使用该结论。 1. 若 $[a,b] \to [a,x]$ ，则 $\xi$ 变为关于端点的函数： $\xi(x)$； 2. 若 $f(x) \to f(x, n)$ ，则 $\xi$ 变为关于 $n$ 的函数： $\xi(n)$。 ## 用夹逼准则 一般要求 > [!example] > 计算：$\lim_{n \to \infty} \int^{1}_{0} (n+1)x^{n}\ln(1+n) \mathrm{d}x$ 凑微分： $\int^{1}_{0} \ln (1+x) \mathrm{d}x^{n+1}$ *反对幂指三*，使用积分部分进行分部积分 $u \mathrm{d}v$： $= x^{n+1} \ln(1+x) \bigg|^{1}_{0} - \int^{1}_{0} x^{n+1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d}x$ $= \ln2 - \int^{1}_{0} \frac{x^{n+1}}{x+1} \mathrm{d}x$ 因此再对内部积分部分进行极限计算。题目变为： $ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \int^{1}_{0} \frac{x^{n+1}}{x+1} \mathrm{d}x$ 放缩&夹逼： $0 \le \frac{x^{n+1}}{x+1} \le \frac{x^{n+1}}{0+1} = x^{n+1}$ $\Rightarrow 0 \le \int^{1}_{0}\frac{x^{n+1}}{x+1} \le \int^{1}_{0} x^{n+1} = \frac{x^{n+2}}{n+2} \bigg|^{1}_{0} = \frac{1}{n+2}$ 当 $n \to \infty$ ， $\frac{1}{n+2} \to 0$ ， 中间被夹逼到 $0$ 。 所以答案为 $\ln 2$。 ## 用积分法 略 #待完善