## 绕 $x$ 轴旋转 $y=y(x)$ 与 $x = a, x = b$ 以及 $x$ 轴围成的面积，绕着 $x$ 轴旋转一周形成的体积。  依然使用微元法，只是从计算细长条矩形面积，变成了小硬币体积（圆柱体）。 因为圆柱体体积公式是*底面积乘高*，可知 - 底面积为 $\pi r^{2} = \pi y^{2}(x)$ - 高为 $\mathrm{d}x$ 。 积分可得： $V = \int^{b}_{a} \pi y^{2}(x) \mathrm{d}x$ ## 绕 $y$ 轴旋转 曲线与两竖线 $a,b$ 以及 $x$ 轴围成曲边梯形，再绕 $y$ 轴旋转得到旋转体。  $V = 2\pi \int^{b}_{a} x|y(x)| \mathrm{d}x$ 先计算长条面积 $S_{x}=|y(x)| \mathrm{d}x$ ，可计算得到一圈的体积 $V_{x}=2\pi x \cdot S_{x}$ ，再进行积分。 > [!note] > > 如果需要简化计算，完全可以交换 $x$ ， $y$ 的地位，变成竖过来的旋转体。变为 $x=f(y)$ 即可。 ## 绕直线旋转 > [!tip] > 套公式即可。都给你算好了，**背公式**就完事了！ 设曲线：$y=f(x),~ a \le x \le b$ 设直线：$Ax+By+C=0$ *该直线的任意垂线都与曲线 **至多** 有一个交点。* 则曲线绕直线旋转一周的体积为：$V = \frac{\pi}{(A^{2}+B^{2})^{\frac{3}{2}}} \int^{b}_{a} [Ax+Bf(x)+C]^{2} | Af'(x)-B | \mathrm{d}x$ 当 $A=C=0, B\ne 0$ ，则回到绕 $x$ 轴旋转的特殊情况。