> [!note] > 假设以下曲线均**连续**。 ## 直角坐标系 曲线 $a$ 与曲线 $b$ 围成的平面图形面积：  $S = \int^{b}_{a} |y_{1}(x) - y_{2}(x)| \mathrm{d}x$ ## 极坐标系 两曲线与两射线围成的曲边扇形的面积  $\frac{1}{2}\int^{\beta}_{\alpha} |r_{1}^{2}(\theta) - r_{2}^{2}(\theta)| \mathrm{d}x$ > [!tip] > > 小曲边扇形可以看作**两个三角形相减**。当 $\theta \to 0$ ，两底角可视作 $90\degree$ ，面积为 $\frac{1}{2} r \cdot r \mathrm{d}\theta$ ## 参数方程 求参数方程曲线与 $x$ 轴围成的面积。 做题思路比较简单，为： 1. 将参数方程转化为 $y=f(x)$ 形式的函数； 2. 再使用 $S = \int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x$ 求解。 $\left\{\begin{matrix} x=x(t) \\ y=y(t) \end{matrix}\right. \Rightarrow y = f(x)$ 因为函数形式的 $f(x)$ 可能会过于复杂写不出来，因此使用**换元法**，**让 $t$ 作为自变量**，以此作为桥梁，联系 $x$ 和 $y$。 把 $y=f(x)$ 内部的 $x$ 换掉，得到 $y=f(x(t))$ ；再复合 $f(x)$ 可得： $y = f(x(t)) = y(t)$ > [!note] > 因为 $y=y(t)$ 和 $y=f(x)$ 的两个 $y$ 是输出的**相同**的东西。所以当我： > > - 取 $x_{0}$ 对应 $y_{0}$ > - 取 $t_{0}$ 对应 $x_{0}$ 再对应 $y_{0}$ > > 二者是完全等价的，所以可以跳过中间步骤 $x_0$ 。这也可以理解为一种复合函数。 因此经过 [[定积分的计算#定积分的换元积分法]] 的三换，可得： $\int^{x^{-1}(b)}_{x^{-1}(a)}f(x(t)) x'(t) \mathrm{d}t = \int^{x^{-1}(b)}_{x^{-1}(a)} y(t) x'(t) \mathrm{d}t$ 下面做一道例题来感受一下。 ### 例题 > [!example] 例10.2 > 已知摆线：$\left\{\begin{matrix} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{matrix}\right. ~(a>0)$ 求一拱与 $x$ 轴所围图形面积。 > [!note] > 考试时需要自己画图，题目不会告诉你。所以请记忆比较重要的函数图像。具体见书上附录部分。 > >  首先确定 $x$ 的积分上下限： $S = \int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = \int^{2\pi a}_{0} f(x) \mathrm{d}x$ 换元，令： $x = a(t-\sin t)$ 得： $f(x) = f(a(t-\sin t)) = f(x(t)) = y(t) = a(1 - \cos t)$ 所以最后换元到 $t$ 可得： $S = \int^{2\pi}_{0} a(1-\cos t) \cdot a (1-\cos t) \mathrm{d}t$ 以此我们便转化到了最简单的情况，接下来就是最基本的计算问题，不想看可以跳过。 #### 计算 提出常数，整理可得： $= a^{2} \int^{2\pi}_{0} (1-\cos t)^{2} \mathrm{d}t$ 如果想使用 [[定积分的计算#华里士公式]]，则打开括号： $= a^{2} \int^{2\pi}_{0} (1 - 2\cos t + \cos^2t) \mathrm{d}t$ 拆开： $= a^{2}\cdot 2\pi - 2a^{2}\int^{2\pi}_{0} \cos t \mathrm{d}t + a^{2} \int^{2\pi}_{0} \cos^2t \mathrm{d}t$ 使用华里士： $= a^{2}\cdot 2\pi - 0 + a^{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$ $= 3 \pi a^{2}$