连续函数在区间 $[a,b]$ 上的平均值为： $\bar{y} = \frac{1}{b-a} \int^{b}_{a} y(x) \mathrm{d}x = y(\xi)$ > [!tip] > 联想 [[不定积分#积分中值定理]] ## 例题 > [!example] > 设 $f(x)$ 连续，且 $f(x+2) - f(x) = x$， $\int^{2}_{0} f(x) \mathrm{d}x = 0$，求 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上的平均值。 套公式直接来吧！ $\bar{f} = \frac{1}{3-1} \int^{3}_{1} f(x) \mathrm{d}x$ 可以发现题目中的区间 $\int^{2}_{0}$ 和 计算出的 $\int^{3}_{1}$ 的**长度**一样，立即联想周期函数的 *区间平移* 性质。 > [!info] > 见 [[定积分的计算#重要结论]] 虽然本题不是周期函数，但可以按照这个思想写出： $F(x) = \int^{x+2}_{x} f(t) \mathrm{d}t$ 因此题目条件变为 $F(0) = 0$ ，所求变为 $F(1)$。求导可得： $F'(x) = f(x+2) - f(x) = x$ $F(x) = \frac{x^{2}}{2}+C$ 又因为 $F(0) = 0$，可得 $C = 0$。因此： $\bar{f} = \frac{1}{2}\int^{3}_{1} f(x) \mathrm{d}x = F(1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$