## 平面上的曲边梯形的形心坐标 ![[curve_center.png]] 求 $D$ 点的形心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ : $\bar{x} = \frac{\int^{b}_{a} xf(x) \mathrm{d}x}{\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x}$ $\bar{y} = \frac{\frac{1}{2}\int^{b}_{a} f^{2}(x) \mathrm{d}x}{\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x}$ > [!info] > >推导需要用到二重积分，数二的同学不用知道，记住就行。 ## 平面曲线的弧长 若曲线由： 1. **直角方程** $y=y(x)$ 给出，则 $s=\int^{b}_{a} \sqrt{1+[y'(x)]^{2}} \mathrm{d}x$ 2. **参数方程** $x=x(t), y=y(t)$ 给出，则 $s=\int^{b}_{a} \sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}} \mathrm{d}t$ 3. **极坐标方程** $r=r(\theta)$ 给出，则 $s=\int^{b}_{a} \sqrt{[r(\theta)]^{2}+[r'(\theta)]^{2}} \mathrm{d}\theta$ ## 平行截面面积已知的立体体积 立体图形的截面面积是一个连续函数 $A(x)$ ，其体积为： $V = \int^{b}_{a} A(x) \mathrm{d}x$ ![[volume_4.png]]