$\Gamma$ 函数有时候在 [[反常积分的计算]] 时有奇效。 ## 定义 如果需要计算的是 $e^{x}$ ，则用第一条；如果是 $e^{x^{2}}$ 则用第二条。 $\Gamma (\alpha) = \int^{+\infty}_{0} x^{\alpha-1} e^{-x} \mathrm{d}x$ 令 $x=t^{2}$ 得： $\Gamma (\alpha) = 2 \int^{+\infty}_{0} t^{2\alpha-1} e^{-t^{2}} \mathrm{d}t ~ (x,t>0)$ > [!info] > $e^{-t^{2}}$ 是 [[#高斯曲线]] 。 ## 递推式 $\Gamma (\alpha) = \int^{+\infty}_{0} x^{\alpha-1} e^{-x} \mathrm{d}x$ $\Gamma (\alpha - 1) = \int^{+\infty}_{0} x^{\alpha} e^{-x} \mathrm{d}x = \alpha \Gamma(\alpha)$ ### 若 $x$ 为整数 后一项是前一项的 $\alpha$ 倍，即 $\Gamma (\alpha - 1) = \alpha \Gamma(\alpha)$ ，所以找第一项： $\Gamma (1) = 1$ $\Rightarrow~ \Gamma (2) = 1,~ \Gamma (3) = 2 \cdot 1 ,~ \Gamma (4) = 3 \cdot 2 \cdot 1 ~\cdots$ $\Rightarrow \Gamma (n+1) = n!$ ### 若 $x$ 为分数 $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ > [!info] > 可用下方 [[#高斯曲线]] 面积证明。 $\Rightarrow \Gamma \left(\frac{5}{2}\right)= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{1}{2}\right)= \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$ ## 定义域 > [!question] > $\Gamma$ 函数的定义域？ > > 让 $\Gamma$ 函数**收敛**的 $x$ 的取值 --- ## 高斯曲线 $y = e^{t^{2}}$ 曲线下围成的面积为 $\sqrt{\pi}$ ，一半为 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 。  > [!note] > > 证明详见 `二重积分 p255`