## 牛顿-莱布尼茨公式及其推广
$F(x)$ 是 $f(x)$ 闭区间上的原函数，则：
$\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = F(x) \Big|^{b}_{a}=F(b) - F(a)$
> [!info]
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> 该定理联系了 [[不定积分]] 和 [[定积分]]。
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> 但**不**代表不定积分和定积分只差了一个上下限。这只是形式上的相似。
### 证明
> [!tip]
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> 由于近几年考研数学对书上定义的考察愈加深刻。因此以防万一，在此给出其中一种证明。
记： $G(x) = \int^{x}_{a} f(t) \mathrm{d}t ~ (a \le x \le b)$
则可知：$G(b) = \int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x ~ (G(a) = 0)$
又因为： $F'(x) = f(x)$ ，且 $G(x) = F(x) + C$
于是： $\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = G(b) - G(a) = F(b) + C - (F(a) + C) =F(b) - F(a)$
得证。
### 推广
1. 若 $f(x)$ 在闭区间内有原函数： $\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$
2. 若 $f(x)$ 在闭区间内有间断点 $c$： $\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = \int^{c}_{a} f(x) \mathrm{d}x + \int^{b}_{c} f(x) \mathrm{d}x$ 若 $c$ 点左右任意一边极限不存在，则积分发散。
> [!info]
> 联系 [[不定积分的积分法]] ，定积分有以下两种积分方法：
## 定积分的换元积分法
$\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = \int^{\beta}_{\alpha} f[\varphi(t)] \varphi'(t) \mathrm{d}t$
> [!tip]
> 换元要三换：
> - 被积函数换： $f(x) \to \varphi(t)$
> - 积分元素换： $\mathrm{d}x \to \mathrm{d}t$
> - 上下限要换： $\int^{b}_{a} \to \int^{\beta}_{\alpha}$
## 定积分的分部积分法
$\int^{b}_{a} u(x) v'(x) \mathrm{d}x = u(x)v(x) \Big|^{b}_{a} - \int^{b}_{a} u'(x) v(x) \mathrm{d}x$
*要求二者导数在范围内连续。*
## 重要结论
> [!note]
> 以下是几个比较有用的结论：
- $f(x)$ 为连续偶函数，则： $\int^{a}_{-a} f(x) \mathrm{d}x = 2 \int^{a}_{0} f(x) \mathrm{d}x$
- $f(x)$ 为连续奇函数，则： $\int^{a}_{-a} f(x) \mathrm{d}x = 0$
- $f(x)$ 周期为 $T$ ，则 $\int^{a+T}_{a} f(x) \mathrm{d}x = \int^{T}_{0} f(x) \mathrm{d}x$ *一个周期长度的定积分，其值与起点位置无关。*
- $f(x)$ 连续，则： $\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = \int^{b}_{a} f(a+b-x) \mathrm{d}x$ 称作区间再现公式。*证明见例 9.17*
### 华里士公式
#重要
**华里士 (Wallis) 公式** 可用于快速计算某些定积分！
$\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^{n}x \mathrm{d}x = \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos^{n}x \mathrm{d}x = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \times \frac{n-3}{n-2} \times \cdots \times \frac{1}{2} \times 1 ,& n为大于1的奇数 \\ \frac{n-1}{n} \times \frac{n-3}{n-2} \times \cdots \times \frac{2}{3} \times \frac{\pi}{2} , & n为正偶数 \end{cases}$
> [!example]
> $\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^{8}x \mathrm{d}x = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{35\pi}{256}$
> $\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^{9}x \mathrm{d}x = \frac{8}{9} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{256}{315}$
>
> - $\int^{\pi}_{0} \sin^{n}x \mathrm{d}x = \begin{cases} 2 \times \frac{n-1}{n} \times \frac{n-3}{n-2} \times \cdots \times \frac{2}{3} \times 1 ,& n为大于1的奇数 \\ 2 \times \frac{n-1}{n} \times \frac{n-3}{n-2} \times \cdots \times \frac{2}{3} \times \frac{\pi}{2} , & n为正偶数 \end{cases}$
> - $\int^{\pi}_{0} \cos^{n}x \mathrm{d}x = \begin{cases} 0 ,& n为正奇数 \\ 2 \times \frac{n-1}{n} \times \frac{n-3}{n-2} \times \cdots \times \frac{2}{3} \times \frac{\pi}{2} , & n为正偶数 \end{cases}$
> - $\int^{2\pi}_{0} \cos^{n}x \mathrm{d}x = \int^{2\pi}_{0} \sin^{n}x \mathrm{d}x = \begin{cases} 0 ,& n为正奇数 \\ 4 \times \frac{n-1}{n} \times \frac{n-3}{n-2} \times \cdots \times \frac{2}{3} \times \frac{\pi}{2} , & n为正偶数 \end{cases}$
如果从分母开始数，则数字部分非常像火箭发射倒计时，因此称其为**点火公式**。
> [!tip]
> 若最后一位数的分子能数到 $1$ ，则可以点火（末尾乘 $\frac{\pi}{2}$ ）；若只能数到 $2$ ，则点火失败（不用乘系数）。
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> [!note]
> 定积分中许多情况下会用到换元： $x=\sin x$ 。换元后的上下限有多种情况都可以满足条件。
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> 但被积函数中 $\sqrt{1-x^{2}} = \sqrt{1-\sin^{2}t} = |\cos t|$ 绝对值的处理有繁有简，应选取最合适的方法。
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> 对于可积但不可求积的函数，详见 [[二重积分]] #待完善