> [!tip]
> 变限积分是一个关于 $x$ 的函数。其相关问题几乎都是**函数**问题。
## 求导公式
#必考
已知变限积分 $F(x)$ ：
$F(x) = \int^{\varphi_{2}(x)}_{\varphi_{}(x)} f(x) \mathrm{d}x$
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x)$ 值域在 $[a,b]$ ，则两函数公共定义域上有：
$F'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \int^{\varphi_{2}(x)}_{\varphi_{}(x)} f(x) \mathrm{d}x \right] = f[\varphi_{2}x]\varphi_{2}'(x) - f[\varphi_{1}x]\varphi_{1}'(x)$
> [!tip]
> 上限代入 $f(x)$ ，乘以上限求导；减去下限代入 $f(x)$ ，乘以下限求导。
> [!example]
> $\left( \int^{\sin^{2}x}_{x^{2}} f(t^{2}) \mathrm{d}t \right)'$
> $= f[(\sin^{2}x)^{2}] \cdot (2 \sin x \cos x) - f[(x^{2})^{2}] \cdot (2x)$
> [!note]
> 上方公式中的 $x$ 被称为 **求导变量**， $t$ 被称为 **积分变量**。当被积函数**只含有积分变量**时才可以使用求导公式！
>
> 若被积函数中有求导变量，则必须通过恒等变形（变量代换等）将其 *移出被积函数* 才可以使用变限积分求导公式。
>
> 例如：当被积函数为 $f(t, x)$ 时，不可以使用求导公式。
>
> 但如果 $f(t, x)$ 可以被拆成 $f(t)$ 和 $g(x)$ ，则可以将 $g(x)$ 直接从积分里面提出去。
## 重要结论
#必考
1. 若 $f(x)$ 为可积奇函数：
1. $\int^{x}_{0} f(t) \mathrm{d}t$ 为偶函数；
2. $\int^{x}_{a} f(t) \mathrm{d}t$ 为偶函数（$a\ne0$）
> [!tip]
> - 奇函数求导为偶函数；奇函数进行变限积分也是偶函数。
> - 若 $f(x)$ 为连续奇函数，其全体原函数均为偶函数。
2. 若 $f(x)$ 为可积偶函数：
1. $\int^{x}_{0} f(t) \mathrm{d}t$ 为偶函数；
2. $\int^{x}_{a} f(t)$ ：
1. 若 $\int^{x}_{a} f(t) = \int^{x}_{0} f(t)$，为奇函数
2. 若 $\int^{x}_{a} f(t) \ne \int^{x}_{0} f(t)$，非奇非偶函数
> [!tip]
> - 因为奇函数要求必须过原点，所以结论会比上方更复杂一点
> - 若 $f(x)$ 为连续偶函数，则 $f(x)$ 全体原函数中，只有 $\int^{x}_{0} f(t)$ 是奇函数。
3. $f(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数，则 $\int^{x}_{0} f(t) \mathrm{d}t$ 也是周期为 $T$ 的周期函数 $\Leftrightarrow$ $\int^{T}_{0} f(x) \mathrm{d}x = 0$
> [!summary]
> $f(x)奇可导 \Rightarrow f'(x)偶$
> $f(x)奇可积 \Rightarrow \int^{x}_{a} f(t) \mathrm{d}t偶, \forall a$
> $f(x)偶可导 \Rightarrow f'(x)奇$
> $f(x)偶可积 \Rightarrow \int^{x}_{0} f(t) \mathrm{d}t奇$
> $f(x)T周期 \Rightarrow f'(x)T周期$
> $\left\{\begin{matrix} f(x)T周期 \\ \int^{T}_{0} f(x) \mathrm{d}x = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \int^{x}_{0} f(t) \mathrm{d}t ~T周期, \forall a$