>[!note] >往往在**收敛**的情况下进行计算。 注意奇点（端点和内部）。 > [!example] > $\int^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{|x-x^{2}|}}$ > 注意内部： $x=1$ 时分母为 $0$ ，且 $\lim_{x \to 1} f(x) = \infty$ ，因此是**无界函数**。 > > 原式拆分+去绝对值得：$=\int^{1}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}} \mathrm{d}x + \int^{\frac{3}{2}}_{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-x}} \mathrm{d}x$ > > 使用凑微分法，代入基本积分公式可得：$= \arcsin \frac{\frac{x-1}{2}}{\frac{1}{2}} \bigg|^{1}_{\frac{1}{2}} + \ln \left(x - \frac{1}{2} + \sqrt{\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - (\frac{1}{2})^{2}}\right) \bigg|^\frac{3}{2}_{1}$ > $= (\frac{\pi}{2} - 0) + \left(\ln \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \ln \frac{1}{2} \right)$ > $= \frac{\pi}{2} + \ln(2+\sqrt{3})$ 对于本章，推荐**直接开始计算书上例题**。 ## 一些好用的结论 $\int^{+\infty}_{0} e^{-x} \mathrm{d}x = 1$ 其实这就是 [[Gamma函数]]