> [!warning] > > 本篇笔记含有滥用 `Callout` 的情况。请将多个同时出现的 `Callout` 当作不同的分段。 > > 你的考研计算部分的得分很大部分取决于该板块。请一定认真学习！ ## 凑微分法 $\int f[g(x)] g'(x) \mathrm{d}x = \int f[g(x)] \mathrm{d}[g(x)] = \int f(u) \mathrm{d}u$ > [!tldr] > > 若被积函数比较复杂，则拿出一部分放到 $\mathrm{d}$ 后面去（换元）。若能凑成基本函数形式，则成功。 > > > [!example] > > $\int \frac{\ln^{5}x}{x} \mathrm{d}x = \int \ln^{5}x \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \int \ln^{5}x \mathrm{d}(\ln x) = \frac{\ln^{6}x}{6}+C$ > > 也可以是变量的函数与变量的导数的乘积。此时也可以考虑凑微分法。 --- ## 换元法 令 $x=g(u)$： $\int f(x) \mathrm{d}x \Longrightarrow \int f[g(u)] \mathrm{d}[g(u)] = \int f[g(u)]g'(u) \mathrm{d}u$ >[!tip] > > - 当被积函数不容易积分时 *(根号、复杂分母、反三角函数)* ，可以考虑使用换元。 > - 计算结束别忘了回代。 > - 核心思想：**令复杂部分等于 $t$**。 ### 1. 三角代换 当被积函数包含如下根式，可用三角代换（这里 $a>0$）： $\sqrt{a^{2} - x^{2}} \to 令~ x = a \sin t, |t| < \frac{\pi}{2}$ > [!tip] > $\sin ^{2}x + \cos ^{2}x = 1$ $\sqrt{a^{2} + x^{2}} \to 令~ x = a \tan t, |t| < \frac{\pi}{2}$ $\sqrt{x^{2} - a^{2}} \to 令~ x = a \sec t, \begin{cases} 若~x>0,~ 0 < t < \frac{\pi}{2} \\ 若~x<0,~ \frac{\pi}{2} < t < \pi \end{cases}$ > [!tip] > $\tan' x = \frac{1}{cos^{2}x} = \sec ^{2}x = 1 + \tan ^{2}x$ ### 2. 恒等变形后三角代换 当被积函数包含根式 $\sqrt{ax^{2} + bx + c}$ 时，可先化为以下三种形式： - $\sqrt{\varphi^{2}(x) + k^2}$ - $\sqrt{\varphi^{2}(x) - k^2}$ - $\sqrt{k^{2}- \varphi^{2}(x)}$ 再作代换。 ### 3. 根式代换 > [!quote] > > ***“举重若轻”*** 当被积函数包含根式如： - $\sqrt[n]{ax+b}$ - $\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$ - $\sqrt{ae^{bx}+c}$ - $\cdots$ 时，直接令根式 $\sqrt{*} = t$。 > [!tip] > > 对于同时含有 $\sqrt[m]{ax+b}$ 和 $\sqrt[n]{ax+b}$ 的函数，取其最小公倍数。 > [!info] > > 事实上，很难通过根号内换元的方法凑成平方，所以根号无法去掉。 ### 4. 倒代换 当被积函数分母的幂次比分子**高2次及以上**时，令 $x=\frac{1}{t}$。 > [!example] > > $\int \frac{1}{x(x^{3}+1)} \mathrm{d}x$ > $=\int \frac{x^2}{x^3(x^{3}+1)} \mathrm{d}x$ > $=\frac{1}{3}\int \frac{1}{x^3(x^{3}+1)} \mathrm{d}x^3$ > 令 $x^{3} = t$ > $=\frac{1}{3} \int \frac{1}{t(t+1)} \mathrm{d}t$ > $=\frac{1}{3} ( \ln |t| - \ln |t+1|)+C$ > $=\frac{1}{3} \ln \left| \frac{x^{3}}{x^{3}+1} \right| + C$ ### 5. 复杂函数直接代换 当被积函数中含有 $a^{x},~e^{x},~\ln x,~ \arcsin x,~ \arctan x$ 等时，考虑将其直接等于 $t$。 > [!tip] > > 当 $\ln x,~ \arcsin x,~ \arctan x$ 与多项式或 $e^{ax}$ 作乘法时，优先考虑**分部积分法**。 --- ## 分部积分法 $\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$ > [!tip] > - 适用于 $\int u \mathrm{d}v$ 求解困难，而 $\int v \mathrm{d}u$ 求解容易的情况； > - 可能需要多次使用分部积分。如果发现需要迭代的次数过多，请使用 [[#分部积分法推广公式]]。 > [!info] > > 分部积分法推导： > > $(uv)' = u'v + uv'$ > 移项得： > $u'v = (uv)' - uv'$ > 同时对两边进行不定积分： > $\int u'v \mathrm{d}x = uv - \int uv' \mathrm{d}x$ > 也可以写成： > $\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$ > [!tip] 如何选取 $u,v$ ？ > > > [!quote] > > $反 \qquad 对 \qquad 幂 \qquad 指 \qquad 三$ > > $u \longleftarrow \qquad \qquad \longrightarrow v$ > > $\arcsin x \qquad \ln x \qquad x^{2} \qquad e^{x} \qquad \sin x$ > > 越靠左越不好积分，更易取 $u$ 用于求导，靠右好积分，则取 $v$ 用于积分。 > [!example] > $\int \ln (1+x^{2}) \mathrm{d}x$ > $=\int \ln (1+x^{2}) \cdot (x)' \mathrm{d}x$ > 换元，代分部积分公式： > $=\int u \cdot v' \mathrm{d}x$ > $= uv - \int v \cdot u' \mathrm{d}x$ > 回代： > $= x \ln (1+x^{2}) - \int x \cdot \frac{2x}{1+x^{2}} \mathrm{d}x$ > 凑积分，拆分成为 [[基本积分公式]]： > $= x \ln (1+x^{2}) - 2 \int \frac{x^{2}+1-1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x$ > $= x \ln (1+x^{2}) - 2 \left( \int 1 \mathrm{d}x - \int \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x \right )$ > 应用基本积分公式： > $= x \ln (1+x^{2}) - 2x + 2 \arctan x + C$ ### 分部积分法推广公式 设 $u, v$ 均有 $n+1$ 阶连续导数，则： $\int uv^{(n+1)} \mathrm{d}x =uv^{(n)} - u'v^{(n-1)} + u^{''}v^{(n-2)} - \cdots + (-1)^{n} u^{(n)}v + (-1)^{(n+1)} \int u^{(n+1)}v \mathrm{d}x$ > [!example] > **上方公式不用记**。用下面这个例子辅助理解： > $\begin{align} &\int x^{3}e^{x}\mathrm{d}x ~(n=2) \\ =&(x^{3}) (e^{x})^{''} - (x^3)^{'} (e^{x})^{'} + (x^3)^{''} (e^{x}) + \int (x^3)^{(3)} (e^{x}) \mathrm{d}x + C \\ =&x^{3} e^{x} - 3x^{2} e^{x} + 6x e^{x} + 6e^x + C \end{align}$ > > [!tip] > > 对 $u$ 求导直到等于 $0$；再对 $v$ 进行积分直到次数相同。 > > 左上**加减**右下，最后一个竖写积分，计算得到 $C$。 > >  > [!info] > 对于 *数学二* 的同学，考研是有可能出现一道10-12分的大题考完4种不定积分的。请一定重视！ 分部积分法有可能得到欲求积分的公式： $\int \sin x \mathrm{d}(e^{t})= e^{t}\sin t - e^{t}\cos t - \int \sin x \mathrm{d}(e^{t})$ $\int \sin x \mathrm{d}(e^{t}) = \frac{1}{2} (e^{t}\sin t - e^{t}\cos t)$ 详见 `例9.5`。 --- ## 有理函数的积分 ### 定义 $\int \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} \mathrm{d}x (n<m)$ 长成这样的积分被称作**有理函数的积分**。其中： - $P_{n}(x)$ 是 $x$ 的 $n$ 次多项式； - $Q_{m}(x)$ 是 $x$ 的 $m$ 次多项式。 > [!info] > > 对于 $n \ge m$ 的 *假分式*，我们可以将其化为标准形式（真分式）例如： > > $\frac{x^{2}}{x+1} = \frac{x^{2}+1-1}{x+1} = x-1 + \frac{1}{x+1}$ ### 思想 若分母 $Q_{m}(x)$ 可因式分解，则将原式拆成若干项最简有理分式之和。 ### 方法 #### 可接受的最简分式 - $\frac{A}{ax+b}$ - $\frac{A}{(ax+b)^{k}}$ - $\frac{Ax+B}{px^{2}+qx+r}$ - $\frac{Ax+B}{(px^{2}+qx+r)^{k}}$ 上方式中 $k>0, k\ne 1$ ，分母不为 $0$。 > [!tip] > > 尽量将分子凑成分母的导数，便于凑微分： > > $\int \frac{x-1}{x^{2}+1} \mathrm{d}x$ > $= \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^{2}+1} \mathrm{d}x - \int \frac{1}{x^{2}+1} \mathrm{d}x$ > $= \frac{1}{2} \ln (x^{2}+1) - \arctan x +C$ #### 拆分有理式 - 分母出现 $(ax+b)$，则最终结果中出现 $1$ 项：$\frac{A}{ax+b}$ - 分母出现 $(ax+b)^k$，则最终结果中出现 $k$ 项：$\frac{A_1}{(ax+b)^{1}} + \frac{A_2}{(ax+b)^{2}} + \cdots + \frac{A_k}{(ax+b)^{k}}$ - 分母出现 $(px^{2}+qx+r)$，则最终结果中出现 $1$ 项：$\frac{Ax+B}{px^{2}+qx+r}$ - 分母出现 $(px^{2}+qx+r)^k$，则最终结果中出现 $k$ 项：$\frac{A_{1}x+B_{1}}{(px^{2}+qx+r)^{1}} + \frac{A_{2}x+B_{2}}{(px^{2}+qx+r)^{2}} + \cdots + \frac{A_{k}x+B_{k}}{(px^{2}+qx+r)^k}$ > [!example] > *例 9.8* > $\int \frac{4x^{2}-6x-1}{(x+1)(2x-1)^{2}} \mathrm{d}x$ > $= \int \frac{A}{x+1} + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{(2x-1)^{2}} \mathrm{d}x$ > 计算 $A,B,C$： > $4x^{2}-6x-1 = A(2x-1)^{2} + B(x+1)(2x-1) + C(x+1)$ > 此时可以使用 **展开看系数列方程** 求解，或者 **代特殊x值消元（推荐）** 求解。解得： > $A = 1, B = 0, C = -2$ > $\therefore 原式 = \int \frac{1}{x+1} - \frac{2}{(2x-1)^{2}} \mathrm{d}x$ > $= \ln |x+1| + \frac{1}{2x-1} + C$