## 定义
### 概念
1. **分割**：将总区域 $[a,b]$ 分割为 $n$ 个段，记 $\Delta x_k$ 为每一段的段间距（区域内需**有界**，分割*可以不等间距*）；
2. **近似**：在每一段内任取一点 $\delta_k$，取该点处函数值 $f(\delta_k)$ 作为矩形高度，并以当前段间距 $\Delta x_k$ 作为矩形宽度，计算每一块矩形面积;（可以不取端点）
3. **极限**：让最大分割区域趋近于零：
$\lim_{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\delta_{k}) \Delta x_k$
> 记 $\lambda = \max \left\{ \Delta x_{k} \right\}$
4. **验证**：若上一步求得的极限存在，且与分割方式以及 $\delta_k$ 的取法无关，则称：**函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积**。
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$
### 几何意义
1. 定积分 $\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x$ 就是计算曲线、直线 $x=a$ 、直线 $x=b$ 、x轴围成的面积。
2. 在x轴上方为正，下方为负。总面积为上方面积减去下方面积。
### 精确定义
因为积分时存在两个 **“任取”** ，因此可以规定两个 **“特取”**：
1. 区间 $n$ 等分；
2. 取小区间**右**端点 $\delta_i$。
每段长度： $\delta_{k}= \frac{b-a}{n}$
第 $i$ 点坐标： $a + \frac{b-a}{n} \cdot i$
$
\lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{i=1} f\left(a + \frac{b-a}{n} i\right) \frac{b-a}{n} = \int^{b}_{a}f(x)\mathrm{d}x
$
当 $a=0, b=1$ ：
#重要 #熟记
$
\lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{i=1} f\left( \frac{i}{n} \right) \frac{1}{n} = \int^{1}_{0}f(x)\mathrm{d}x
$
### 定积分的值与字母无关
$
\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x = \int^{b}_{a} f(t)\mathrm{d}t = \int^{b}_{a} f(u)\mathrm{d}u
$
当定积分存在，定积分的值只和**函数本身** $f(x)$ 与**积分区间** $a,b$ 有关，与变量的记法无关。
> 面积是客观存在的量，不会因为记法而改变。
---
## 存在定理
也称为**一元函数的（常义）可积性**、黎曼可积性。
> 常义指“区间有限，函数有界”
### 定积分存在的充分条件
1. 若 $f(x)$ 在**闭区间**上**连续**，则积分存在；
2. 若 $f(x)$ 在**闭区间**上**有界**，且只有**有限个间断点**，则积分存在；
3. 若 $f(x)$ 在**闭区间**上**单调**，则积分存在。
> [!caution]
> 1. 在后面提到 [[反常积分]] （广义积分）时，函数无界也可能积分存在。但在**常义可积**时依然还是**可积必有界**。
> 2. 定积分存在定理与 [[不定积分#不定积分存在定理]] 的区别与联系
### 定积分存在的必要条件
1. 闭区间是**有限区间**；
2. $f(x)$ 在闭区间内**有界**。
### 性质
#### 两个规定
1. 当 $b=a$ 时： $\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = 0$ ;
2. 当 $a>b$ 时： $\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = -\int^{a}_{b} f(x) \mathrm{d}x$ 。
#### 性质 1：求区间长度
假设 $a<b$ ，则：
$\int^{b}_{a} 1\mathrm{d}x = b - a = L$
其中 $L$ 是区间 $[a,b]$ 的长度。
#### 性质2：积分的线性性质
$
\int^{b}_{a} [k_{1}f(x) \pm k_{2}g(x)] \mathrm{d}x =
k_{1} \int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x \pm k_{2} \int^{b}_{a} g(x) \mathrm{d}x
$
#### 性质3：积分的可加（拆）性
无论 $a,b,c$ 大小如何，总有：
$
\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = \int^{c}_{a} f(x) \mathrm{d}x + \int^{b}_{c} f(x) \mathrm{d}x
$
#### 性质4：积分的保号性
若在区间 $[a,b]$ 上 $f(x) \le g(x)$ ，则：
$
\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x \le \int^{b}_{a} g(x)\mathrm{d}x
$
> 本身就小，面积也不会大
特殊地：有：
$
\left| \int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x \right| \le \int^{b}_{a} \left| f(x) \right| \mathrm{d}x
$
> [!tip]
>
> 事实上，只要区间内非负的 $f(x)$ 不恒等于零，那么其积分**一定大于0**。
#### 性质5：估值定理
若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 有最值 $M,m$ ，设 $L$ 为区间长度，则有：
$
mL \le \int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x \le ML
$
#### 性质6：中值定理
#重要 又称为*积分中值定理*。
设 $f(x)$ 在闭区间连续，则在闭区间内至少存在一点 $\xi$ ，使得：
$
\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = f(\xi)(b-a)
$
##### 证明
令 $F(x) = \int^{x}_{a} f(t) \mathrm{d}t$ ，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上使用 [[中值定理#7. 拉格朗日中值定理]]：
$
F(b) - F(a) = F'(\xi)(b-a)
$
将 $F(b),F(a)$ 展开可得：
$
\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x - 0 = f(\xi)(b-a), ~ \xi \in (a,b)
$
> [!check]
> 接下来请完成**例8.3及之后的题目**来巩固知识 :)
## 经典例题
### 数列和的极限
以下是两个经典的数列求和取极限的案例*（例8.6）*，如何判别和解答呢？
> [!question]
> $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{n+i}{n^2+i^2} \right)=?$
>
> $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{i}{n^2+n+i} \right)=?$
#### 1. 开始之前
我们将此类数列和的极限记为：
$
\lim_{n \to \infty}\sum^{n}_{i=1} g(n, i)
$
其中 $g(n, i)$ 是数列通项，包含两个参数。
#### 2. 判别是否符合精确定义
首先我们判别通项 $g(i, n)$ 是否能转化为 [[#精确定义]] 中 $f( \frac{i}{n} ) \frac{1}{n}$ 的形式：
$
\lim_{n \to \infty} \sum^{i=1}_{n} f\left( \frac{i}{n} \right) \frac{1}{n} = \int^{1}_{0}f(x)\mathrm{d}x
$
若分子**或**分母是关于 $n,i$ 的函数，且均为***齐次式***，则可以凑成 $f( \frac{i}{n} ) \frac{1}{n}$ 。
#### 3.1 满足条件：使用定积分
如果满足条件，则直接使用**定积分**。 如：
$
\frac{n+i}{n^{2}+i^{2}} = \frac{n^{2}+in}{n^{2}+i^{2}} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1+\frac{i}{n}}{1+(\frac{i}{n})^{2}} \cdot \frac{1}{n} = f \left( \frac{i}{n} \right) \cdot \frac{1}{n}
$
又如：
$
\frac{1}{\sqrt{n^{2}+ni}} = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{i}{n}}} \cdot \frac{1}{n} = f \left( \frac{i}{n} \right) \cdot \frac{1}{n}
$
后根据精确定义转化为积分计算及可，略。
#### 3.2 不满足条件：使用夹逼
如果不满足条件，则考虑使用 [[夹逼准则]] 。如：
$
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{i}{n^2+n+i} \right)
$
将分母部分放缩到相同大小，对分子使用求和公式，再使用夹逼可得：
$
\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^{2}+n+n} \le \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n^{2}+n+i} \le \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^{2}+n+1}
$
抓大哥 $n^{2}$ 的系数：
$
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^{2}+n+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^{2}+n+1} = \frac{1}{2}
$
> 大喊一声：*哪里跑！*
所以原式逼近到 $\frac{1}{2}$ 。
> [!caution]
> 这两种方法**不可互换**。因此如果你在考试时发现其中一种方法算不出来，不要着急，马上**换另一条路**！
## 注意
>[!warning]
>$F(x) = \int^{b}_{a} f(x,t) \mathrm{d}t$
>这个表达式不是定积分，是关于 $x$ 的函数。
>定积分**不是只看上下限**，而是看整个是不是一个确定的常数！
> [!info]
> 开始学习计算：[[定积分的计算]]