## 概念
因为定积分有两个必要条件：
1. 积分区间有限；
2. 被积函数有界。
破坏第一条“积分区间有限”，则引出**无穷区间**上的反常积分；
破坏第二条“被积函数有界”，则引出**无界函数**的反常积分。
> [!info]
>
> 因为人们发现，无穷区间或者无界函数围成的面积也可能是**有限**的，所以对定积分的概念进行了**推广**。因此定积分和反常积分也有两个别名：
>
> - *定积分 — 常义积分*
> - *反常积分 — 广义积分*
### 无穷区间上的反常积分
$
\int^{+\infty}_{a} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{x \to +\infty} F(x) - F(a)
$
$
\int^{b}_{-\infty} f(x) \mathrm{d}x = F(b) - \lim_{x \to -\infty} F(x)
$
若极限存在，则反常积分收敛，否则为发散。
$
\int^{+\infty}_{-\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int^{+\infty}_{x_0} f(x) \mathrm{d}x + \int^{x_0}_{-\infty} f(x) \mathrm{d}x
$
若两边都收敛，则反常积分收敛，否则为发散。
> [!example]
> $\int^{+\infty}_{1} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{d}x$
> $= \lim_{x \to +\infty} \left( - \frac{1}{x} \right) - \left( - \frac{1}{1} \right) = 1$
> 所以反常积分收敛。
>
> $\int^{+\infty}_{-\infty} x^{3} \mathrm{d}x \ne 0$
> 左右均不收敛，因此反常积分发散。*但是*：
> $\lim_{R \to +\infty} \int^{R}_{-R} x^{3} \mathrm{d}x = 0$
> [!tip]
>
> 此处可理解为：曲边梯形面积 $S = 底 \times 高$ ，其中 $底 \to \infty$ ， $高 \to 0$
>
> 因此联想到 [[函数极限的计算#2. 七种未定式的计算]]
### 无界函数的反常积分
> [!info]
> $F(x)$ 是 $f(x)$ 的区间原函数，$x_0$ 是 $f(x)$ 的 [[瑕点]]。
若 $x=a$ 是唯一瑕点，则
$
\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = F(b) - \lim_{x \to a^{+}} F(x)
$
若 $x=b$ 是唯一瑕点，则
$
\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{x \to b^{-}} F(x) - F(a)
$
极限存在，则反常积分收敛，否则为发散。
若 $x = c \in (a, b)$ 是唯一瑕点，则
$
\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x = \int^{c}_{a} f(x) \mathrm{d}x + \int^{b}_{c} f(x) \mathrm{d}x
$
若两边都收敛，则反常积分收敛，否则为发散。
> [!tip]
>
> 大致图像如下：
>
> 
> [!summary]
> 1. $\int^{+\infty}_{a} f(x) \mathrm{d}x$ 看 $f(x) \to 0$ 的速度（无穷小的阶数）。
> 2. $\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x$ ，其中 $\lim_{x \to a^{+}}f(x = \infty)$ 看 $f(x) \to \infty$ 的速度（无穷大的阶数）。
## 敛散性判别
### 无穷区间
#### 比较判别法
函数 $f(x), g(x)$ 区间连续，且 $0 \le f(x) \le g(x)(a \le x < +\infty)$ ，则：
1. $\int^{+\infty}_{a} g(x) \mathrm{d}x$ 收敛， $\int^{+\infty}_{a} f(x) \mathrm{d}x$ 也收敛；
2. $\int^{+\infty}_{a} f(x) \mathrm{d}x$ 发散， $\int^{+\infty}_{a} g(x) \mathrm{d}x$ 也发散。
> [!tip]
>
> 大的收敛，小的也收敛；小的发散，大的也发散。
>
> 类比 [[放缩法]]
#### 比较判别法的极限形式
#重要
函数 $f(x), g(x)$ 区间连续，且 $f(x) \ge 0, g(x) > 0, \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lambda$ （有限或 $\infty$），则：
1. $\lambda \ne 0$ 且 $\lambda \ne \infty$： $\int^{a}_{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int^{a}_{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 有相同敛散性；
2. $\lambda = 0$ ：若 $\int^{a}_{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int^{a}_{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛；
3. $\lambda = \infty$ ：若 $\int^{a}_{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 $\int^{a}_{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。
> [!tip]
>
> 看二者谁趋于零的速度更快。
>
> 类比计算极限 [[无穷小#无穷小的比阶]]
### 无界函数
#### 比较判别法
$f(x), g(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，瑕点同 $x=a$ ，且 $0 \le f(x) \le g(x)(a < x \le +\infty)$ ，则：
1. 当 $\int^{b}_{a} g(x) \mathrm{d}x$ 收敛， $\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x$ 收敛；
2. 当 $\int^{b}_{a} f(x) \mathrm{d}x$ 发散， $\int^{b}_{a} g(x) \mathrm{d}x$ 发散。
> [!tip]
> 同 *无穷区间* 理解。
#### 比较判别法的极限形式
$f(x), g(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，瑕点同 $x=a$ ，且 $f(x) \ge 0, g(x) > 0(a < x \le b), \lim_{x \to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)} =\lambda$ （有限或 $\infty$） ，则：
1. $\lambda \ne 0$ 且 $\lambda \ne \infty$： $\int^{a}_{b}f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int^{a}_{b}g(x)\mathrm{d}x$ 有相同敛散性；
2. $\lambda = 0$ ：若 $\int^{a}_{b}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int^{a}_{b}f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛；
3. $\lambda = \infty$ ：若 $\int^{a}_{b}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 $\int^{a}_{b}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。
> [!important] 两个重要结论
> #熟记
> 1. $\int^{1}_{0} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{d}x \begin{cases} \text{ 收敛, }~ 0 < p < 1 \\ \text{ 发散, }~ p \ge 1 \end{cases}$
>
>2. $\int^{+\infty}_{1} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{d}x \begin{cases} \text{ 收敛, }~ p > 1 \\ \text{ 发散, } ~p \le 1 \end{cases}$
>
>> [!tip]
>>
>> 
>>
>> 推广：将 $x$ 替换为 $\sin x$ 等趋向 $0$ 的速度一样的函数均可使用以上结论。
>>
>> 推广为 $\ln x$ 也一样。
## 小结
> [!summary]
>
> 对于反常积分判别收敛：
>
> 1. 放缩法；
> 2. 计算法；
> 3. 4个结论（2个重要结论+2个题目里的，*参考上方的tip*）
开始学习计算：[[反常积分的计算]]