## 原函数与不定积分
设函数 $f(x)$ 定义在某区间上，若存在可导函数 $F(x)$ 在区间内都有 $F’(x) = f(x)$ ，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间上的一个**原函数**。
称 $\int f(x) \mathrm dx = F(x)+C$ 为 $f(x)$ 在区间上的**不定积分**。
> [!tip]
>
> - 不定积分表达的是*全体原函数*；[[定积分]] 才是*真正的运算*。
> - 不定积分的 $\int \mathrm dx$ 不是运算符，而是**记号**。
> [!attention]
>
> *仅仅熟悉概念是不够的。请结合 **例 8.1** 理解。*
> 原函数一定要**处处可导**，否则他不能成为任何函数的原函数！
## 积分中值定理
设 $f(x)$ 连续，则 $\exists ~ \xi \in (a,b)$ 使：
$\int_a^b f(x) \mathrm dx = f(\xi)(b-a)$
> [!tip]
>
> 这条定理可以**将积分转化为函数**的形式。每当看到积分与函数混合计算，则借助积分中值定理统一为函数。
> 一般使用时，函数上下限 $a,b$ 为 $x, x+\Delta x$ ，当 $\Delta x \to 0, ~ \xi \to x$ （夹逼）。
## 不定积分存在定理
> [!info]
>
> 也是*原函数存在定理*
#困难
1. **连续函数** $f(x)$ **必有**原函数 $F(x)$。
$
f(x) 连续 \Rightarrow \int f(x) \mathrm dx = \int_a^x f(t)dt + C
$
> [!attention]
> 该公式十分 #重要
2. 含有**一类间断点**和**无穷间断点**的函数在包含间断点的区间内**必没有**原函数。
> [!info]
>
> 忘记了？赶快看下间断点的分类：[[函数的连续与间断#间断点]]
>
> 开始学习计算：[[不定积分的积分法]]