## 概念 就是变上下限的**定积分**。把积分上下限改成变量，而被积的函数本身用了另一个参数。 $ F(x) = \int^{x}_{a} f(t) \mathrm{d}t $ 上式被称为**变上限的定积分**；同理可推**变下限**和**上下限都变**的定积分。这些都是**变限积分**。 > [!note] > 变限积分的主要自变量是上下限。积分本身只是一种计算的手段，自带的那个积分变量不对整个函数造成影响。 ## 性质 > [!attention] > > 以下内容均使用 $f(x)$ 代表被积函数， $F(x)$ 代表其变限积分。 1. $f(x)$ 区间可积，则 $F(x)$ 区间内连续； > [!tip] > > 意味着：若 $F(x)$ **存在，则一定连续**。 2. $f(x)$ 区间连续，则 $F(x)$ 区间内可导，且 $F'(x) = f(x)$； #重要 3. 若 $x_0$ 是区间内唯一*跳跃间断点*，则 $F(x)$ 在 $x_0$ 处**不可导**，且 $F(x_0)$ 左导等于 $f(x_0)$ 左极限，右导等于右极限； 4. 若 $x_0$ 是区间内唯一*可去间断点*，则 $F(x)$ 在 $x_0$ 处**可导**，且 $F'(x_{0})$ 导数等于$f(x_0)$ 极限。 > [!info] > 间断点详见：[[函数的连续与间断#第一类间断点]] > > 开始学习计算：[[变限积分的计算]]