>方程的根就是函数的零点。 $f(x) = g(x)$ 就是两条曲线的交点。 ## 1. 零点定理 **证明根的存在性** 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上***连续***，且 $f(a)f(b)<0$ ，则 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个根。  ## 2. 单调性 **证明根的唯一性** 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上***单调***，则 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至多有一个根。该区间可以为无穷区间。  --- ## 3. 罗尔定理及其推论 当零点定理不太方便时，可以考虑罗尔定理及其推论。 > [!info] > 参考：[[中值定理#6. 罗尔定理]] ### 推论 若 $f(x)$ 在区间上 $n$ 可导，且 $f^{(n)}(x) \ne 0$ （ $f^{(n)}(x)$ 至多 $0$ 个根），则 $f(x)=0$ 至多有 $n$ 个根。 更一般的结论为： 若 $f^{(n)}(x)$ 至多有 $k$ 个根 ，则 $f(x)=0$ 至多有 $k+n$ 个根。 ## 4. 实系数奇次方程至少有一个实根 如题。实系数奇次方程形如： $ x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}=0 $ > [!tip] > > 常与罗尔定理推论搭配使用： > > 至多1个根，至少1个根，得：有唯一实根。