> [!tip] > 更多涉及逻辑性、证明性的问题。 ## 用函数性态证明不等式 > *包括单调性、凹凸性、最值等* > [!info] > [[单调性与极值的判别]] > [[凹凸性与拐点的判别]] > [[最值或取值范围]] 1. 若有 $f’(x) \ge 0, a<x<b$ ，则有 $f(a) \le f(x) \le f(b)$； 2. 若有 $f’’(x) \ge 0, a<x<b$ ，则有 $f’(a) \le f’(x) \le f’(b)$： 1. 当 $f’(a)>0$ 时， $f’(x)>0$ ，函数单增； 2. 当 $f’(b)<0$ 时， $f’(x)<0$ ，函数单减； 3. 设 $f(x)$ 区间内连续，且有唯一极值点 $x_0$ ，则： 1. 若 $x_0$ 为极大值点，则为区间内最大值点； 2. 若 $x_0$ 为极小值点，则为区间内最小值点； 4. 若 $f’’(x)>0, a<x<b, f(a)=f(b)=0$ ，则有 $f(x)<0$ 。 > 因为 $f(a)=f(b)=0$ ，所以必须先减后增，一阶导数先负后正，二阶导数恒正 ## 用常数化变量证明不等式 如果需要证明的不等式中都是常数，则可以将其中一个或几个*常数变量化*，再利用导数工具取证明。 ## 用中值定理证明不等式 主要用到： [[中值定理#7. 拉格朗日中值定理]] [[中值定理#9. 泰勒公式]]