> [!tip]
> ***10大定理，无需证明直接用！！***
## 涉及函数的定理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ *连续*，则：
### 1. 有界与最值定理
$m \le f(x) \le M$ ，其中 $m, M$ 分别为闭区间内最小值与最大值。
> [!summary]
> 函数一定有界，且拥有最大最小值。
### 2. 介值定理
当 $m \le \mu \le M$ ，存在 $\xi \in [a,b]$ ，使 $f(\xi) = \mu$
> [!summary]
> 最大最小值包裹的范围内，函数必经过其中每一个值。
>
> 在 $[m,M]$ 之间画一条水平直线，其与函数至少有一个交点。
### 3. 平均值定理
当 $a < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < b$ 时，在 $[x_1, x_n]$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得：
$
f(\xi) = \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}
$
> [!tip] 提示
> 想象一个数轴，在 $(a,b)$ 间插入 $n$ 个点，则这 $n$ 个插入点的平均值一定存在于 $[x_1, x_n]$ 范围内。
### 4. 零点定理
当 $f(a) \cdot f(b) < 0$ 时，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi) = 0$。
> [!summary]
> 两点异号，中间必穿零点。
> [!tip]
> 题目一般不会直接让你求证 $f(\xi) = 0$ ，往往需要经过一次逆运算，**构造新的函数**。（例 6.1）
#### 推广
$f(x)$ 在 $(a,b)$ 连续， $\lim_{x \to a^+}f(x)=\alpha$ ， $\lim_{x \to b^-}f(x)=\beta$ ，则 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个根。
> [!tip]
> $a, b, \alpha, \beta$ 可以是有限数，也可以是**无限大**。
---
## 涉及导数（微分）的定理
### 5. 费马定理
若函数在 $x_0$ 满足：
1. 可导；
2. 取极值，
则 $f’(x_0) = 0$ 。
> [!tip]
> 速度为0时跑得最远，加速度为0时跑得最快。
#### 导数零点定理
参考 [[#4. 零点定理]]
*例 6.3*： 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可导，若端点导数值异号，则 $(a,b)$ 内必有一点导数为 $0$ 。
> [!attention]
> 请区分：$f(x)$ 在闭区间可导 & $f’(x)$ 在闭区间连续。
> 函数可导：导函数存在，但不一定连续。
#### *费马大定理*
#补充内容
$x^n+y^n=z^n$ ：任何 $n>2$ ，一定没有正整数解。
> [!quote]
> *我已经有了一个绝妙的证明，但是这里空间太小写不下了。*
### 6. 罗尔定理
设函数 $f(x)$ 满足：
1. $[a,b]$ 连续；
2. $(a,b)$ 可导；
3. $f(a) = f(b)$ ，
则：内部存在导数为 $0$ 的点。
> [!tip]
> 看到 $f’(x_0) = 0$ ，就想 [[#5. 费马定理]] 或罗尔定理。
#### 多次罗尔定理
设 $f(a) = f(b) = f(c) = 0$ ，
有 $\xi_1 \in (a,b) , \xi_2 \in (b,c)$ 使：
$f’(\xi_1) = f’(\xi_2) = 0$
再使用一次罗尔：有 $\xi \in (\xi_1, \xi_2)$ 使：
$f’’(\xi) = 0$
> 记住这个笑脸
#### 罗尔定理推广
区间 $(a,b)$ 可以是**无穷区间**；端点（极限）值可以是**无穷大**。
#### 辅助函数
> [!note]
> 考研主要侧重于简单构造，请勿过于沉迷构造辅助函数。
参考：
[[导数的四则运算]]
- $f’(x) + f(x) \Rightarrow F(x) = f(x)e^x$
- $f’(x) - f(x) \Rightarrow F(x) = f(x)e^{-x}$
- $f’(x) \cdot f(x) \Rightarrow F(x) = f^2(x)$
- $f’(x) / f(x) \Rightarrow F(x) = \ln f(x)$
> [!tip]
> - 注意*广义化*！
> - 这些辅助函数*不仅限于罗尔定理*。
> - 有的题目可能涉及到*多次罗尔定理*： $f(a) = f(b) = f(c)$ ，三者中间有两点为0，再对这两点使用罗尔可得**二阶导为0**。
### 7. 拉格朗日中值定理
> [!tip]
> 这个定理很简单，但是实际做题会有障碍。注意观察题目条件，来判断何时使用拉格朗日。
#### 定理
设 $f(x)$ 满足：
1. $[a,b]$ 连续；
2. $(a,b)$ 可导，
则 $a, b$ 间存在点 $\xi$ 使：
$
f(b)-f(a) = f’(\xi)(b-a)
$
或者写成：
$
f’(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$
> [!tip] 提示
> 注意看：这个拉格朗日的图像是不是和 [[#6. 罗尔定理]] 有点相似？因为他们两个就是一样的！只是拉格朗日更加一般化。
>
> 见到 $f(a)-f(b)$ 或者 $f$ 与 $f’$ 的关系：想到*拉格朗日中值定理*。
> [!example] 例题
>
>证明： $\exists ~ \xi \in (0, \frac{\pi}{2})$ 使 $x\cos \xi = \sin x$
>
> 1. **变形**： $x\cos \xi = \sin x \Rightarrow \cos \xi = \frac{\sin x}{x}$
> 2. 联想： $\frac{f(b)}{b} \Rightarrow \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ *拉格朗日*
> 3. 发现： $a=0, f(a)=0$
> 4. 正向书写：令 $f(x) = \sin x$ ，有 $f’(\xi) = \cos \xi = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sin x}{x} ~ (x \in (0,\frac{\pi}{2}))$
> [!tip] 个人经验
> 在题目中，许多情况需要使用 $a=0, f(a)=0$ 这个条件简化拉格朗日中值定理。
>
>可以将原式化为：
> $f’(\xi) = \frac{f(b)}{b}$
> 也可以直接将 $f(x) - f(0)$ 替换为 $f’(\xi)x$
### 8. 柯西中值定理
设 $f(x),g(x)$ 满足：
1. $[a,b]$ 连续；
2. $(a,b)$ 可导；
3. $g’(x) \ne 0$，
则存在 $\xi \in (a,b)$ ，使
$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}
$
> [!tip]
> 往往考察一个具体函数，一个抽象函数。
>
> 柯西中值定理其实也只是把 [[#7. 拉格朗日中值定理]] 写成了*参数方程*的形式。
> [!caution]
> ***不能***使用两个拉格朗日相除得到柯西！因为两个不同函数的 $\xi$ 可能不相同！
### 9. 泰勒公式
> [!abstract]
> 用多项式逼近/近似一个函数
#### 带佩亚诺余项的n阶泰勒公式
> [!info]
> 前置参考：[[导数#导数的意义]]，一定要看！
> [!summary]
> *将导数的一阶可导推广到了n阶可导。*
适用于**点** $x=x_0$ 及其邻域，常用于研究点 $x=x_0$ 的某些结论。（极限，无穷小阶数，极值）是**局部的**。
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则存在 $x_0$ 的一个邻域，对于邻域内任意点 $x$ 有：
$
f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)
$
> [!tip]
> 这个余项和之前的导数、连续一样，但是变成了 $n$ 阶
#### 带拉格朗日余项的n阶泰勒公式
> [!summary]
> 升级到了 $n+1$ 阶
适用于**区间** $[a,b]$ ，常在证明题中使用（不等式、中值定理）
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 某个邻域 $n+1$ 阶导数存在，对邻域内任意点 $x$ 有：
$
f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
$
> [!tip]
> 这个余项就是之前的通项，只不过将 $x_0$ 替换为了介于 $(x,x_0)$ 之间的 $\xi$ 。
#### 麦克劳林公式
当 $x_0 = 0$ 时的泰勒公式称为麦克劳林公式。
$
f(x) = f(0)=f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)
$
$
f(x) = f(0)=f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}
$
##### 重要麦克劳林展开式
#### 牛顿插值法
#补充内容
> [!tip]
> *与泰勒公式结合，加深对泰勒公式的理解*
>
> 已知两个点的信息，求中间值。也是多项式拟合。
$
y_1 = f(x_1),y_2 = f(x_2)
$
$
\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
$
$
y=\frac{y_2-y-1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1
$
令 $f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
> [!info]
> 因为为线性插值，误差较大，因此加上一个补充项 $b(x-x_1)(x-x_2)$
$f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) + b(x-x_1)(x-x_2)$
然后将中间某点代入，反解求出 $b$ 。
## 涉及函数的定理
### 积分中值定理
> [!info]
> 见 [[不定积分#积分中值定理]]