## 单调性的判别 设函数在开区间内连续，闭区间内可导： 1. 如果在范围内 $f’(x) \ge 0$ ，且*等号仅在有限个点处成立*，则函数在范围内**严格单增**； 2. 如果在范围内 $f’(x) \le 0$ ，且*等号仅在有限个点处成立*，则函数在范围内**严格单减**。 > [!info] > 此处张宇老师再次使用了[[超实数]]的概念，但我认为此处按照普通的方式进行理解即可。 ## 极值点的必要条件 一阶可导点是极值点的必要条件： $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导且取得最值 => $f’(x)=0$ > [!question] > 思考： $y=|x|$ 在 $x=0$ 点处不可导，但该点是极小值。 > [!info] > 证明：详见 [[费马定理]] #待完善 ## 判别极值的充分条件 ### 第一充分条件 > 点的信息/条件较弱 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续 *（不一定可导）*，去心邻域内可导： 1. 左邻域 $f’(x)<0$ ，右邻域 $f’(x)>0$ ：在 $x=x_0$ 处取得极大值； 2. 反之取得极小值。 3. 若 $f’(x)$ 不变号，则 $x_0$ 不是极值点。 ### 第二充分条件 > 点的信息/条件较强：如*某点二阶可导* 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 二阶可导，且 $f’(x_0) = 0, f’’(x_0) \ne 0$ ： 1. 若 $f’’(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值； 2. 反之取得极大值。 ### 第三充分条件 > 将第二充分条件扩充可以得到第三充分条件 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f^{(m)}(x_0) = 0 (m=1,2, \cdots , n-1), f^{(n)}(x_0) \ne 0 (n \ge 2)$ ： 1. 当 $n$ 为**偶数**且 $f^{(n)}(x_0) < 0$ 时，$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得**极大值**； 2. 当 $n$ 为**偶数**且 $f^{(n)}(x_0) > 0$ 时，$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得**极小值**； > [!info] > 至于 $n$ 为奇数的情况，详见[[凹凸性与拐点的判别#第三充分条件]]。 > 不考证明，学有余力可以看。