## 判别凹凸性
设函数 $f(x)$ 在 $I$ 上二阶可导：
1. 若 $f’’(x) > 0$ ，则 $f(x)$ 为凸；
2. 若 $f’’(x) < 0$ ，则 $f(x)$ 为凹。
## 二阶可导点是拐点的必要条件
设 $f’’(x)$ 存在，且 $x_0$ 点为拐点，则 $f’’(x_0) = 0$ 。
### 注
若一个点为拐点，则只有以下两种情况：
1. $f’’(x) = 0$ ，如 $y=x^3$
2. $f’’(x)$ 不存在，如 $y=\sqrt[3]{x}$
> [!attention]
> 尖点也可以是拐点。
## 判别拐点的充分条件
### 第一充分条件
> *最常用方法*
- 在 $x_0$ 点连续；
- **去心邻域**内二阶导数存在；
- 左右邻域 $f’’(x)$ **变号**：
该点为拐点。
>[!tip]
> 类比 [[单调性与极值的判别#第一充分条件]]
> 左右邻域一阶导数变号为极点；二阶导数变号为拐点。
### 第二充分条件
- 在 $x_0$ 邻域内三阶可导；
- $f’’(x) = 0, f’’‘(x) \ne 0$：
该点为拐点。
> [!tip]
> 类比 [[单调性与极值的判别#第二充分条件]]
> 左右邻域二阶导数不为0为极点；三阶导数不为0为拐点。
### 第三充分条件
- 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导
- 且 $f^{(m)}(x_0) = 0(m = 2, 3, \cdots ,n-1)$
- $f^{(n)}(x_0) \ne 0 (n \ge 3)$
则 $n$ 为奇数时，该点为拐点。
> [!tip]
> 类比[[单调性与极值的判别#第三充分条件]]