一般认为： $n \ge 2$ 为高阶导数。 ## 归纳法 > 逐次求导，探索规律，得出通式。 > *例：* 求 $y=\sin x$ 的 $n$ 阶导数。 $ \begin{align*} y’ =& (\sin x)’ = \cos x = \sin (x+\frac{\pi}{2}) \\ y'' =& (\sin (x+\frac{\pi}{2}))’ = \cos (x+\frac{\pi}{2})) = \sin(x+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}) \\ \cdots \\ y^{(n)} =& \sin(x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \end{align*} $ ### 常用高阶导数 详见[[常用高阶导数]] ## 莱布尼茨公式 设 $u = u(x), v = v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则： $ (u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} $ $ \begin{align*} (uv)^{(n)} = & u^{(n)}v + C^1_n u^{(n-1)}v’ + C^2_n u^{(n-2)}v’’ + \cdots + C^k_n u^{(n-k)}v^{(k)} + \cdots + C^{n-1}_{n} u’v^{(n-1)} + uv^{(n)} \\ = & \sum_{k=0}^{n} C^k_n u^{(n-k)}v^{(k)} \end{align*} $ [为 Github 准备的图片版公式](assets/formulas/Leibniz_formula.jpg) > [!caution] > 1. 见到求两个函数乘积的高阶导数，一般用莱布尼茨公式即可。有时要结合 **归纳法**。 > 2. 当一个函数求高阶导数较复杂时，如果能转化为乘积的形式，也可用莱布尼茨公式。 ## 泰勒展开式 和 [[泰勒公式]] 同样重要！ ### 抽象展开 任何一个无穷阶可导函数可写成： $ y = f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n, $ 或者在 $0$ 点展开： $ y = f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $ ### 具体展开 题目给出一个具体的无穷阶可导函数 $y=f(x)$ ，可以通过 *已知公式* 展开为幂级数。 #### 已知公式 #熟记  ### 唯一性 无论 $f(x)$ 用什么方式展开，其泰勒展开式具有 **唯一性**。因此我们可以通过比较 [[#抽象展开]] 和 [[#具体展开]] 中公式的系数，获得 $f^{(n)}(x_0)$ 或者 $f^{(n)}(0)$。 > 有点抽象？试试完成 *例 4.18* ！ --- > *例 4.18*：设 $f(x) = x^2 \ln (1-x)$ ，则当 $n \ge 3$ 时， $f^{(n)}(0) = (\qquad)$  1. 分别独立完成抽象展开与具体展开； 2. 根据自变量 $x$ 的次数相等，求出 $n$ 和 $m$ 的关系式；（若不相等则可以强行变到相等） 3. 最后根据系数相等列出方程，解出答案。