设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x,y)=0$ 确定的可导函数： 1. 方程 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导，将 $y$ 看作中间变量，得到关于 $y’$ 的方程； 2. 求解方程，求出 $y’$ 。 > [!caution] > 注意 $y=y(x)$ ，可能会涉及[[复合函数导数]]！ --- ## 例题 **请一定保证准确、清晰、快速的计算思维。** > *例4.8*：函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^3 + x y^2 + x^2 y + 6 = 0$ 确定，且 $y’(1)=0$ ，求 $y’’(1)$. ### 1. 求解 $y(1)$ 对原式两边关于 $x$ 求导 *（注意复合函数）*： $ \begin{align*} & (3y \cdot y’) + (y^2 + x \cdot 2y \cdot y’) + (2xy + x^2 \cdot y’ = 0) ~ (\ast) \\ \Rightarrow ~ & [y(1)]^2 + 2 \cdot 1 \cdot y(1) = 0 \\ \Rightarrow ~ & y(1) = 0 ~ 或 ~ -2 ~ (0不符合，舍去) \end{align*} $ ### 2. 求解 $y’’(1)$ 再对 $(\ast)$ 式关于 $x$ 进行求导 *（有点复杂，但不难。请一定仔细！）* ： $ \begin{align*} & [6y \cdot (y’)^2 + 3y^2 \cdot y’’] + [2y \cdot y’] + [2(yy’ + x(y’)^2 + xy \cdot y’’] + [2y + 2xy’] + [2x \cdot y’ + x^2 \cdot y’’] = 0 ~ (**) \\ \Rightarrow ~ & 12y’’(1) - 4y’’(1) -4 + y’’(1) = 0 \\ \Rightarrow ~ & y’’(1) = \frac{4}{9} \end{align*} $ > 提示： $y^2$ 关于 $x$ 求导时，可看作复合函数求导： $(y^2)’ = 2y \cdot y’$