设 $y=f(x)$ 单调可导，且 $f’(x)\ne 0$ ，则存在反函数 $x=\varphi(y)$ ： $ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}, ~ 即 ~ \varphi ’(y) = \frac{1}{f’(x)} $ ## 反函数的二阶导数 #重要 #熟记 记 $f’(x) = y’_x$ ， $\varphi ’(y) = x’_y$ ，则： $ \begin{align*} y’_x = & \frac{1}{x’_y}\\ x’_y = & \frac{1}{y’_x} \end{align*} $ $ y_{xx}'' = - \frac{x_{yy}''}{(x’_y)^3} $ $ x_{yy}'' = - \frac{y_{xx}''}{(y’_x)^3} $ ### 推导  > [!tip] > > *反函数的二阶导等于：负的二阶导除以一阶导的三次方。* > > 记住以后可以更快秒杀小题！