## 引例 > 请记住这个例子，来更好地理解概念。  设正方形边长为 $1$，当其边长增加 $\Delta x$ 时，其面积增加： $ \Delta S = 2\Delta x + (\Delta x)^2 $ 分别对应两个小长方形与小正方形的面积。其满足： $ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} = 0 $ - $2\Delta x$ 是增量的主要部分，也叫**线性主部**。 - $(\Delta x)^2$ 即为 $o(\Delta x)$。它为 $\Delta x \to 0$ 时的高阶无穷小，是**误差**。 - 当 $\Delta x)$ 足够小时，有 $\Delta S \approx 2\Delta x$。 ## 概念 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处有： $ \Delta y = f(x_0 + \Delta x)-f(x_0) $ 若存在与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$ ，使得： $ \Delta y = A \Delta x + o(\Delta x) $ 则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微。 $A \Delta x$ 称作**线性主部**，也叫做 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的**微分**。记作： $\mathrm{d}y|_{x = x_0}=A \Delta x $ $或 ~ \mathrm{d}y|_{x = x_0} = f'(x_0)\mathrm{d}x$ ### 区分 $\mathrm{d}y$ 和 $\Delta y$ $\Delta y = \mathrm{d}y + o(\Delta x)$ $\mathrm{d}y$ 和 $\Delta y$ 不同。二者相差一个高阶无穷小的误差。 ## 注： ### 可微的判别方式： “ $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微”与“ $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导”互为充要条件。导数值存在即可微； 1. 写增量 $\Delta y$； 2. 写线性增量 $A\Delta x$； 3. 作极限 $\lim_{\Delta x \to x_0}\frac{\Delta y - A \Delta x}{\Delta x}$； 若极限等于0，则可微，否则不可微。 ### 可微的含义 用“简单的”线性增量 $\mathrm{d} y$ **代替了**“复杂的”增量 $\Delta y$ ，但是其产生的误差可以忽略不计。 > [!tip] > > 因为 $x$ 的变化是线性的，因此 $\mathrm{d} x$ 与 $\Delta x$ 等价，可互换。 > [!attention] > > 请一定区分微分和导数！ ### 几何意义 用切线段近似代替曲线段。  > [!tip] > > 为什么 $\mathrm{d} y$ 和 $\Delta y$ 不一样，而 $\mathrm{d} x$ 与 $\Delta x$ 等价，在看了这个图片之后应该会有清晰的理解。