> [!tip] > 由于高中的基础，导数的概念各位应该比较熟悉。 ## 简明定义 函数 $f(x)$ 在 $t$ 这一点的**瞬时变化率** $\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}$ ### 两种写法 拉格朗日： $f’(t)$ 莱布尼茨： $\frac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{d} t}$ ### 可视化  ## 官方定义  ## 注意 1. $\Delta x$ 可以**广义化**，变成*超级小狗*： $ \lim_{狗 \to 0}\frac{f(x_0 + 狗)-f(x_0)}{狗} $ 2. 如果令 $x_0 + \Delta x = x$ ，导数定义式还可以被写为： $f’(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 3. 以下三种说法等价： - $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导； - $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处导数存在； - $f’(x_0) = A$ （ $A$ 为有限数 ）。 4. 函数在一点可导的**充要条件**： - 函数在某一点的变化率是存在的； - 或：函数在某一点的左导数与右导数存在且相等。 5. 函数在一点可导的**必要条件**： - 若 $f(x)$ 在一点可导，则 $f(x)$ 在该点连续。 > [!tip] > 连续不一定可导，可导一定连续。 > > 想 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处。 6. 函数在某点可导**不能**推出其附近可导。 7. 求导后，函数的奇偶性会互换。 ### 绝对值求导 $|f(x)|’ = \frac{f(x)f’(x)}{|f(x)|}~(f(x) \ne 0)$ ## 导数的意义 使用中心点的值以及导数值，去估计附近的值。 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导： $ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f’(x_0) $ $ \Rightarrow f(x) = f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+o((x-x_0)^1) $ 观察无穷小的阶数（为1），配合 [[函数的连续与间断#连续点#使用版]] 可知：*可导比连续可以更精确地估计函数值。*