## 人话定义 ### 数列 一系列数（一般是无穷个），每一个数字都拥有自己的编号 $x_n$ 。该数列简记为 $\{ x_n \}$ 。 > [!tip] > $n \in \mathbb {N}_+$ ； > > 数列 $\{ x_n \}$ 可看作**函数** $f(n)$ 当自变量 $n$ 依次取一切正整数，所得的函数值排成的数列。 ### 项 数列中的每一个数，第 $n$ 项 $x_n$ 被称作一般项（通项）。 ### 子列 从数列 $\{ x_n \}$ 中选取**无穷多项**，并按**原来的先后顺序**组成新的数列，这个新数列被称为原数列的子列。 --- ## 常见数列 ### 等差数列 首项为 $a_1$ ，公差为 $d$ 的数列。 1. 通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 2. 前 $n$ 项和 $S_n =\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ ### 等比数列 首项为 $a_1$ ，公比为 $r(r \ne 0)$ 的数列。 1. 通项公式 $a_n = a_1r^{n-1}$ 2. 前 $n$ 项和 $ S_n = \begin{cases} na_1, & r=1, \\ \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}, & r \ne 1. \end{cases} $ 3. 常用公式 $1 + r^2 + \cdots + r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r}(r \ne 1)$ ### 单调数列 对于所有正整数 $n$ ，都有： $a_{n+1} \ge a_n ~ (a_{n+1} \le a_n)$ 则称该数列为单调不减（不增）数列。 若将等号去掉，变为严格大于（小于），则称该数列为单调递增（递减）数列。 单调递增和单调递减数列统称为单调数列。 ### 有界数列 若对于所有正整数 $n$ ，都存在正整数 $M$ ，使： $|a_n| \le M$ 则称该数列为有界数列。 #### 证明数列有界的常用方法 #待完善 1. 加绝对值，用定义法 2. 放缩法 3. 求最值 ## 常见数列求和 1. 等差数列 $ 1+2+3+\cdots +n = \frac{n(n+1)}{2} $ 2. 平方求和 $ 1^2+2^2+3^2+ \cdots +n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 3. 裂项相消 #重要 $ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots + \frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{n}{n+1} $ ## 重要数列的结论 $\{ (1+\frac{1}{n})^n \} $ 对于上述数列，有以下几点性质： - 单调递增; - 该数列的极限： $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = e.$  ## 无界变量 与[[无界变量]]相对的是有界变量。容易混淆的[[无穷大]]。 ### 无界变量和无穷大量有什么关系？ > 无穷大一定无界，无界不一定是无穷大。 无穷大量是一个函数，里面所有的点都是“无穷大”，而无界变量则可以有一部分在有界内。例如： 当 $n$ 为奇数时， $x_n =\frac{1}{x}$ ；当 $n$ 为偶数时， $x_n =x$ 。当 $n \to \infty$ ，$x_n$ 是**无界大量**。