## 数列极限的定义 ### 人话版 数列 $\{ x_n \}$ 中任何一个数，和某一个自然数 $\alpha$ 的距离可以无限小。（类比函数极限）称常数 $\alpha$ 是该数列的极限。 $\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$ > [!tip] > $n$ 离散着趋向正无穷。数列极限中**特指正无穷**。 ### 收敛数列 该数列存在极限。数列 $\{ x_n \}$ 收敛于 $\alpha$。 ### 发散数列 该数列不存在极限。 ### 部分结论 1. 若数列收敛，则其任何子列均收敛，且均收敛于同一个极限。 > [!tip] > 因此想要证明数列发散，可以证明：一个子列发散，或两个不同子列极限不同。<br> > 某子列收敛**无法证明**原数列收敛。 2. 只要数列极限存在，两边可以直接加绝对值 $\lim_{n \to \infty} a_n = A, ~则~ \lim_{n \to \infty} |a_n| = |A|$ > [!tip] > 一般情况下，该命题反过来是不成立的。但如果 $A=0$ ，那么命题**可以反过来**。且该结论**对函数也成立**。 > $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0,\Leftrightarrow \lim_{x \to x_0} |f(x)| = 0$