## 等价无穷小不是相等 代表了两个[[超实数]]在某个点趋近于其实数部分的速度相同，因此可以相互替换。 ## 常用等价无穷小 > [!important] > **一定要熟记并应用!!** 当 $x \rightarrow 0$： - $x \sim \sin x$ - $x \sim \tan x$ - $x \sim \ln (1+x)$ - $x \sim e^x -1$ - $x \sim \arcsin x$ - $x \sim \arctan x$ - $a^x-1 \sim x \ln a$ - $x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$ - $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ > 推广： $1-(\cos x)^a \sim \frac{1}{2}ax^2$ - $(1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x$ --- - $\ln (x + \sqrt{1+x^2}) \sim x$ - $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$ - $\arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3$ - $x-\arctan x \sim \frac{1}{3}x^3$ 另外，还有一部分利用[[泰勒公式]]人为创造的“差函数”等价无穷小。