> [!info] Fun Fact > 洛必达法则不是洛必达发明的，是伯努利卖给他的 :) >[!warning] >仅适用于单变量求导，多元函数**不可以**使用洛必达！ ## 法则本身 $\lim_{x \to a/\infty} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a/\infty} \frac{f’(x)}{F’(x)} $ ## 使用要求 ### $\frac{0}{0}$型 1. 当 $x \to a$ （或 $x \to \infty$）时，函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 都**趋于零**； 2. $f’(x)$ 和 $F’(x)$ 在点 $a$ 的某个去心邻域内（或当 $x$ 非常大时）存在，且 $F’(x) \ne 0$； 3. $\lim_{x \to a/\infty} \frac{f(x)}{F(x)}$ 存在或为无穷大。 ### $\frac{\infty}{\infty}$型 1. 当 $x \to a$ （或 $x \to \infty$）时，函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 都**趋于无穷大**； 2. $f’(x)$ 和 $F’(x)$ 在点 $a$ 的某个去心邻域内（或当 $x$ 非常大时）存在，且 $F’(x) \ne 0$； 3. $\lim_{x \to a/\infty} \frac{f(x)}{F(x)}$ 存在或为无穷大。 >[!tip] > - 结果存在 $\to$ 原式存在： > 右存在，则左存在；但左存在，不一定右存在。 > - 若一次运算的结果仍然满足洛必达法则的条件，可继续使用洛必达法则。 > - （超纲）只要上下能求导，且下方为无穷，也可以使用洛必达。 > - 经常配合[[泰勒公式]]进行计算 ## 证明 详见[[中值定理#8. 柯西中值定理]] ## 使用小技巧 > $\lim a*b$ 想用洛必达，怎么办？ $\lim a*b = \lim \frac{a}{\frac{1}{b}}$ **设置分母有原则，简单因式才下放。** - 简单： $x^\alpha, ~ e^{\beta x}, ~ \sin \gamma x$ - 复杂： $\arcsin x, ~ \arctan x, ~ \ln x, ~ \cdots$