>[!info]
> - [[高阶导数求导#泰勒展开式]]
> - [[中值定理#9. 泰勒公式]]
## 定义
### 官方定义
设 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 处 $n$ 阶可导，则存在 $x = 0$ 的一个邻域，对于该邻域内任一点 $x$ ，有
$f(x) = f(0) + f’(0)x + \frac{f’’(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$
#### 佩亚诺余项
最后剩下的那个无穷小量。
### 人话定义
1. 几乎任何函数都可以用**多项式**（幂函数）进行**近似**；
2. 方法就是不停对某一个点进行求导，将每次求导得到的数值除以 的阶乘作为第 次项的系数；
3. 最后加上一个**佩亚诺余项**。
>[!tip]
> - 阶数越大，逼近越精确；
> - 经常配合[[洛必达法则]]进行计算，但**泰勒更优**；
> - **泰勒多项式**就是去掉佩亚诺余项剩下的多项式。
> - 对 $F(x)=f(x) \cdot g(x)$ 进行泰勒展开，可以分别展开 $f(x)$ 和 $g(x)$，再 **相乘** 找到自己想要的次数并相加即可
## ‼️常用泰勒公式
#熟记
> 背会泰勒公式，*一站直达*！
> 每天起床头件事，先背一遍展开式
- $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)$
- $\arcsin x = x + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
- $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
- $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
- $\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
- $(1 + x)^a = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!} x^{2}+ o(x^2)$
- $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + o(x^3)$
> [!info]
> 记忆困难？试试这个方法！ [【数学135】4分钟通透泰勒展开式](https://www.bilibili.com/video/BV128411L7Nx/?spm_id_from=333.1387.favlist.content.click&vd_source=66001ad3e78f7897dcd2d2d17210f084)
### 创造的“差函数”等价无穷小
对上述常用泰勒公式进行处理后，可得到一组差函数的[[等价无穷小]]代换式，如：
$x - \sin x = \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$
因此同理，可以得到：
- $x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3$
- $\arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3$
- $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$
- $x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3$
- $x-\ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2$
> 也与 $1-\cos x$ 等价
- $e^x - 1 - x \sim \frac{1}{2} x^2$
另外：
1. 不要忘记将这些公式**广义化**，不要局限于 $x$ 的形式。（超级小狗）
2. 不要忘记两边可以同时取负号！
> [!tip]
> 这些公式记熟，比洛必达更快！真的超级好用！
## 应用时的展开原则
### $\frac{A}{B}$型，适用“上下同阶”原则
如果分母（或分子）是 $x^k$ ，则应把分子（或分母）展开到 $x^k$。
> 此时可使用**等价无穷小**进行替换展开。
> [!example] 例：
> 计算 $\lim _{x \to 0} \frac{x-\ln(1+x)}{x^2}$
>
>对分子进行泰勒展开：
$\ln(1+x) = x+o(x)$
$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
因为分母是 $x^2$ ，因此选择**二次项**，带入并计算即可。
### $A-B$ 型，适用“幂次最低”原则
将 $A$，$B$ 分别展开到他们**系数不相等**的 $x$ 的最低次幂为止。
> [!example] 例：
> 原式为： $\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}}$
>
>对二者分别展开：
>$\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} + o(x^4)$
>$e^{-\frac{x^2}{2}} = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8} + o(x^4)$
>然后再进行运算：
>$\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}} = -\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)$