> [!info] > 本概念来自于*张宇考研数学基础30讲 2025版* > [!info] > 一共有两种无穷小： > 1. 不为零的，趋近于零的过程； > 2. 零本身（最高阶无穷小）。 ## 无穷小到底有多小？ 理论上说，无穷小代表着*任意小*。事实上，无穷小和[[无穷大]]都属于[[超实数]]，而无穷小这个超实数小于任何一个实数。 当一个[[函数极限]]趋近于某个值，那么我们可记为： $\lim_{x \to x_0}f(x)=A$ 在一般情况下，我们的函数本身是无法取得 $x=x_0$ 这个值的，因此我们可以将这个函数写为： $ f(x) = A + a_0 $ 我们成功将这个函数扩展到了**超实数领域**：其中 $A$ 是这个超实数的实数部分，$a_0$ 是超实数部分。 > 如果理解有困难，请类比实数的*实部与虚部*。 当 $x$ 越来越趋近于 $x_0$ 时， $a_0$ 也会随之变小，最后逐步变成一个非零的，极其微小的数，即为**无穷小量**。 > [!tip] 提示 > 引入超实数其实就是想告诉你：**趋于某个数并不是就等于某个数**，而是找到这个函数的实数部分。 > $ \lim_{x \to x_0}f(x)=A \ne f(x_0) = A $ ## 无穷小的性质 1. **有限个**无穷小的和/乘积是无穷小（但无穷个无穷小的和**不一定**是无穷小） 2. 有界函数于无穷小的乘积是无穷小 ## 无穷小的比阶 设 $\lim \alpha(x)=0, \lim \beta(x)=0$，且 $\beta(x)\ne 0$，则： ### 高阶无穷小 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$ ### 低阶无穷小 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty$ ### 同阶无穷小 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=c\ne 0$ ### [[等价无穷小]] $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$ ### k阶无穷小 $\lim \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k}=c \ne 0$ > [!caution] > 不是所有的无穷小都可以进行比阶。