> [!tip] > 连续与间断的判别，本质是**极限计算**问题。不需要过多纠结概念，只需要按照定义进行应用即可。 > *连不是真正的连，断是真正的断。* ## 连续点 ### 官方定义 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 某一邻域内有定义，且有： $\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$ 则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。 ### 人话版 函数在 $x_0$ 的极限值与 $f(x_0)$ 相等，就称为连续。 ### 使用版 $\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$ $\Rightarrow f(x) = f(x_0)+o((x-x_0)^0)$ >[!tip] > 1. *连续* 这个概念在日常生活中十分常见，理解起来并不困难。 > 2. 所有初等函数在其定义区间都是连续的。因此我们只需要讨论 **极个别** 可能出现的不连续情况就能完全掌握。 > 3. 需要讨论左右极限时，若左极限与右极限均等于函数值，即在该点连续。反之亦然。 > 4. **保号性：** 若函数值在某点连续，且函数值大于（或小于）0，那么这个点附近的函数值也都大于（或小于）0。 ### 连续性运算法则 #### 连续性的四则运算法则 两函数均在某点连续，二者进行四则运算后也在该点连续。 > 做除法时注意被除数不能为零。 #### 复合函数的连续性 两函数在某点连续，复合后仍在该点连续。 #### 反函数的连续性 某函数在某区间 *单调且连续* ，其反函数在对应区间连续且 **单调性不变** 。 --- ## 间断点 ### 定义与分类 一般情况，我们对某个函数的间断点只研究三个东西： $ \begin{align} &\lim_{x \to x_0^+} f(x) \\ &\lim_{x \to x_0^-} f(x) \\ &f(x_0) \end{align} $ 对前两个值的不同情况进行 **排列组合** 可以得到不同的间断点：： #### 第一类间断点 1. 可去间断点（可补间断点） 若函数 $x_0$ 点 *极限值* **不等于**该点 *函数值*（甚至可以无定义）那么该点为可去间断点： $\lim_{x \to x_0} f(x) = A \ne f(x_0)$ > [!tip] > 只要修改或补充 $f(x_0)$ 即可使函数在 $x_0$ 连续。 2. 跳跃间断点 若函数在 $x_0$ 点 *左极限* 和 *右极限* 均存在，但二者 **不等**，则该点为跳跃间断点： $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \ne \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ #### 第二类间断点 3. 无穷间断点 若函数 $x_0$ 点左右极限至少有一个无穷大，则该点为无穷间断点。 $\lim_{x \to x_0^- / x_0^+} f(x) = \infty$ > 最简单的例子： $y=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处为无穷间断点。 4. 震荡间断点 若 $\lim_{x \to x_0}f(x)$震荡不存在，则该点为震荡间断点。 > [!example] 例子 > $y=\sin{\frac{1}{x}}$ 在 $x=0$ 处没有定义，且 $x \to 0$ 时函数在 $-1$ 和 $1$ 之间震荡。 > >  5. 其他第二类间断点 > [!tip] > 对于考研数学，我们不考虑其他第二类间断点。 ## 注 ### 注 1 $ \begin{align} & 若~ f(x) ~在~ x = x_0 ~连续 \\ \Leftrightarrow &\lim_{\Delta x \to 0}[f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0 \\ \Leftrightarrow &\lim_{\Delta x \to 0} \Delta f(x_0) = 0 \end{align} $ 证明连续尽量用定义，正面思考；证明不连续可以举反例。 ### 注2 连续，**不是**两个点是连着的的意思，不能用几何上的“不断开”来思考。请尽量使用定义来思考！