## 函数极限定义 极限的定义一般使用 $\varepsilon - \delta$ 语言进行描述： ### $\varepsilon - \delta$ 语言 $ \lim_{x \to x_0}f(x) = A $ $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 当 0 < |x-x_0| < \delta时, 有|f(x)-A| < \varepsilon$ 但我们也可以用人话来解释一遍： ### 人话 #### 前提 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 去心邻域内有定义。（在极限点处可以无定义） #### 要求 若函数 $f(x)$ 的极限点为 $x_0$ ，极限值为 $A$ ，那么当自变量 $x$ 无限接近 $x_0$ 时，其函数值 $f(x)$ 也会无限接近极限值 $A$。 ## 函数极限的性质 ### 唯一性 如果极限存在，则极限唯一。 ### 局部有界性 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ ，则在 $x_0$ 附近存在一定范围，使函数有界。 > [!info] 官方定义 > 存在正常数 $M$ 和 $\delta$ ，使得当 $0 < |x-x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x)| \le M$ ### 局部保号性 #重要 若 $f(x) \to A(x \to x_0)$ 且 $A > 0$ ，那么 $x_0$ 点的某去心邻域有 $f(x) \ge 0$ 。小于同理。 $ \lim f > 0 \Rightarrow f > 0 $ $ f \ge 0 \Rightarrow \lim f \ge 0 $ > 脱帽法：脱帽严格不等，戴帽非严格不等。